Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un campo $k$ y que $x \in \mathfrak{g}$ . Por definición, tenemos la equivalencia: $$ \mathrm{rk}(\mathrm{ad}_x) = 0 \iff x = 0,$$ donde $\mathrm{rk}(\mathrm{ad}_x)$ es el rango de $\mathrm{ad}_x$ visto como un elemento de $\mathrm{End}(\mathfrak{g})$ . Me gustaría saber si existe una clasificación de elementos $x \in \mathfrak{g}$ tal que $\mathrm{rk}(\mathrm{ad}_x) \leq 1$ ? Me interesa principalmente el caso en que $k = \mathbb{C}$ y $\mathfrak{g}$ es simple de tipo clásico.
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quux
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$\DeclareMathOperator\ad{ad}\DeclareMathOperator\rk{rk}$ Afirmo que es imposible tener $\rk(\ad_x) = 1$ .
Asumiré que $\mathfrak g$ es $k$ -split, que parece estar bien ya que te interesa el caso $k = \mathbb C$ . (O simplemente se puede tensor hasta $\overline k$ que no cambia el rango del operador adjunto). Sea $\mathfrak h$ sea una subálgebra de Cartan dividida.
Supongamos que $x \in \mathfrak g$ satisface $\rk(\ad_x) = 1$ .
Si $x$ se encuentra en $\mathfrak h$ , $\beta$ es cualquier raíz que no desaparece en $x$ y $E_\beta$ y $E_{-\beta}$ no son $0$ vectores en los espacios radicales apropiados, entonces $\ad_x(E_\beta) = \beta(x)E_\beta$ y $\ad_x(E_{-\beta}) = -\beta(x)E_{-\beta}$ no son $0$ elementos de espacios de raíces diferentes, por lo que son linealmente independientes, lo cual es una contradicción.
Así, $x$ no radica en $\mathfrak h$ . Sea $x = \sum x_\alpha$ sea la descomposición del espacio raíz con respecto a $\mathfrak h$ , donde $\alpha$ pasa por encima de las raíces de $\mathfrak h$ en $\mathfrak g$ y $0$ y elegir una raíz $\alpha$ tal que $x_\alpha$ no es $0$ .
Tenemos que $\ad_x(h)$ es igual a $-\sum \alpha(h)x_\alpha$ para todos $h \in \mathfrak h$ . Como todos estos elementos se encuentran en una línea común, si $\beta \ne \pm\alpha$ es una raíz, entonces, como $\{\alpha, \beta\}$ y $\{\alpha, -\beta\}$ son subconjuntos linealmente independientes de $\mathfrak h^*$ tenemos $x_\beta = 0$ y $x_{-\beta} = 0$ .
Dejemos que $h$ sea un elemento de $\mathfrak h$ no aniquilado por $\alpha$ .
Tenemos que $\ad_x(h) = -\alpha(h)x_\alpha + \alpha(h)x_{-\alpha}$ y $\ad_x(x_\alpha)$ es igual a $\alpha(x_0)x_\alpha + \ad_{x_{-\alpha}}(x_\alpha)$ . Observando que $\ad_{x_{-\alpha}}(x_\alpha)$ se encuentra en $\mathfrak h$ y la comparación de las descomposiciones del espacio de las raíces de estos elementos linealmente dependientes muestra que $\alpha(h)x_{-\alpha}$ es igual a $0$ para que $x_{-\alpha}$ es igual a $0$ . Es decir, $\ad_x(h)$ es igual a $-\alpha(h)x_\alpha$ por lo que es un no $0$ elemento del $\alpha$ -Espacio de la raíz.
Si $x_0$ no es $0$ entonces podemos elegir una raíz $\beta \ne -\alpha$ (posiblemente $\beta = \alpha$ ) tal que $\beta(x_0) \ne 0$ . Si $E_\beta$ es un no $0$ elemento del $\beta$ -espacio de la raíz, entonces $\ad_x(E_\beta) = \beta(x_0)E_\beta + \ad_{x_\alpha}(E_\beta)$ tiene proyección $\beta(x_0)E_\beta \ne 0$ en $\mathfrak h$ por lo que es linealmente independiente de $\ad_x(h)$ , lo cual es una contradicción.
Así, $x$ se encuentra en el $\alpha$ -espacio de la raíz. Si $E_{-\alpha}$ es un no $0$ elemento del $(-\alpha)$ espacio de la raíz, entonces $\ad_x(E_{-\alpha})$ es un no $0$ elemento de $\mathfrak h$ por lo que vuelve a ser linealmente independiente de $\ad_x(h)$ , lo cual es una contradicción.
Otro enfoque.
Para demostrar que es imposible (el rango no puede ser 1), basta con mostrarlo cuando el campo (supuesto de char 0) es algebraicamente cerrado, y a su vez basta con mostrar el resultado en el caso $\mathfrak{g}$ es simple. Si $x$ tiene $\mathrm{ad}(x)$ de rango 1, $x$ tiene centralizador de codimensión 1. Se sabe (ver por ejemplo esta respuesta de MathSE ) que $\mathfrak{g}$ no tiene ninguna subálgebra de codimensión 1, a menos que $\mathfrak{g}$ es tridimensional. Pero para $\mathfrak{sl}_2$ el operador $\mathrm{ad}_x$ tiene un rango 2 para cada uno de los ceros $x$ (alternativamente, todas las subálgebras bidimensionales tienen un centralizador trivial, por lo que no pueden ser centralizadores de un elemento).
Se puede utilizar un enfoque similar (con un poco más de trabajo) para clasificar qué $\mathfrak{g}$ admitir un $x$ con $\mathrm{ad}(x)$ de rango 2, y clasificar dichos elementos $x$ .
