Tengo que demostrar que $$\frac {x-1}{x} \leq \ln x $$ utilizando sólo propiedades logarítmicas y el hecho de que $x-1\geq \ln x$
Llevo un tiempo dándole vueltas a la desigualdad. Intenté esto; empezando por lo que estamos tratando de probar, y trabajando hacia atrás:
$$\frac {x-1}{x} \leq \ln x \Leftrightarrow x-1 \leq x\ln x $$
Sabemos que $x-1\geq \ln x$ lo que implica: $\ln x \leq x\ln x$ lo que es cierto para todos los $x$ s permitido.
¿Estoy haciendo esto completamente mal? ¿Podría tener una pista para empujarme en la dirección correcta?
(Por supuesto, he intentado retorcer la desigualdad utilizando las propiedades logarítmicas, pero sigo caminando en círculos )
