Propagador y amplitud de la probabilidad de que una partícula se propague

Question

Mis conocimientos de QFT están muy oxidados y me confundieron estas pocas líneas de Peskin y Schroeder:

p.27: " [..] la amplitud para que una partícula se propague de $y$ à $x$ es $\langle 0| \phi(x) \phi(y) |0\rangle $ . Llamaremos a esta cantidad $D(x — y)$ ."

(La relación con el conmutador se calcula explícitamente en (2.53) p.28, + parte inferior de la p.29: $$ [\phi(x) , \phi(y)] = \cdots = D(x-y)- D(y-x) = \langle 0|[\phi(x) , \phi(y)]|0\rangle$$ los h.r. se entienden implícitamente como proporcionales a la $\mathbb{1}$ operador)

Finalmente las expresiones de los propagadores retardados y de Feynman están dadas (2.55) p.30

$$D_R := \theta (x^0 -y^0) \langle 0|[\phi(x) , \phi(y)]|0\rangle $$

y (2.60) p.31 (sin conmutadores)

$$D_F := \theta (x^0 -y^0) \langle 0|\phi(x) \cdot \phi(y)|0\rangle + \theta (y^0 -x^0) \langle 0|\phi(y) \cdot \phi(x)|0\rangle $$

que por definición de "propagador" o "función de Green" satisfacen $(\square +m^2) G(x,y)= -i\delta^4(x-y)$ .

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Ahora mi confusión viene del hecho de que recuerdo que los propagadores tenían la interpretación de la amplitud de propagación, cf. por ejemplo wikipedia o Peskin últimas 2 líneas p.82, pero ¿esto está mal? (¡tres funciones diferentes, obviamente, no pueden tener exactamente la misma interpretación!)

Observación: Soy consciente de que a partir de la relación definitoria de una función de Green, se puede expresar la "evolución" de una solución de la ecuación (Klein-Gordon), por lo que en cierto sentido los propagadores expresan una idea de propagación

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La primera pregunta es demasiado fácil, así que aquí hay una segunda: ¿Los propagadores son siempre combinaciones de $D(x-y)$ ?

• para los campos que interactúan
• para una PDE más general?

Observación: No estoy tratando de relacionar las teorías con la libre, así que $D(x-y)$ representa la amplitud de propagación en cada teoría no la libre. La idea subyacente es que $D(x-y)$ tiene una interpretación clara mientras que los propagadores no tendrían una interpretación fácil por sí mismos a menos que sean simples funciones de estos $D(x-y)$ .

Answer 1

Los propagadores son independientes de las interacciones. Sólo dependen de la parte libre del Lagrangiano. Por ejemplo, el KG Lagrangiano lee $$ \mathcal L_{KG}=\frac{1}{2}(\partial \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\mathcal H_I(\phi) $$ donde $\mathcal H_I$ podría ser, por ejemplo $\frac{g}{4!}\phi^4$ . Existen diferentes definiciones del propagador (todas equivalentes, por supuesto). Para nuestros propósitos, la definición más sencilla es que es la función de Green de la EDP KG. La forma más rápida de encontrar $D_F$ es ir al espacio del momento, y "resolver" el propagador: $$ \mathcal L_{KG}(k)=\phi(k)(k^2+m^2)\phi(k)-\mathcal H_I(k)\equiv \phi(k) D_F^{-1}\phi(k)-\mathcal H_I(k) $$ donde encontramos $$ D_F(k)=\frac{1}{k^2+m^2} $$ (hay varias convenciones sobre la normalización de $D_F$ (por lo que a veces se pueden encontrar algunos factores numéricos delante de la expresión anterior)

Por otro lado, no es difícil demostrar que $D_F$ está de acuerdo con su expresión: $$ D_F=\langle 0|\mathcal T\ \phi_0(x)\phi_0(y)|0\rangle $$ donde $\phi_0(x)$ es la solución del gratis Ecuación de KG. Si se añaden interacciones, entonces la amplitud para pasar de $x$ à $y$ ya no es el propagador. Se puede llamar a la amplitud $C(x,y)$ y solemos llamar a esta nueva cantidad correlador . En la teoría de la perturbación, no es difícil demostrar que $C$ siempre puede escribirse en términos del propagador (como una expansión asintótica sobre algún parámetro que pondere las interacciones). El correlacionador depende de $\mathcal H_I$ pero el propagador no. Se puede demostrar que si $\mathcal H_I=0$ entonces $C(x,y)=D_F(x,y)$ .

Con esto, podemos responder a sus dos primeras preguntas: 1) $D_F$ no es la amplitud de propagación, sino $C(x,y)$ es. Coinciden cuando no hay interacciones. 2) El propagador es independiente de las interacciones, pero el correlador no. Este último puede escribirse como una expansión asintótica en la que los distintos términos incluyen potencias de $D_F$ para que los correlacionadores puedan escribirse siempre en términos de propagadores.

En cuanto a su tercera pregunta, el propagador hace depende de la EDP, ya que depende de la parte libre de la Lagrangiana. Por ejemplo, si se toma un Lagrangiano diferente, como Dirac's $$ \mathcal L_D=\bar\psi(i\not\partial-m)\psi-\mathcal H_I(\psi) $$ entonces usando la misma línea de razonamiento que antes encontramos que el propagador es $$ S(k)=\frac{1}{\not k-m} $$

Espero que esto responda a sus preguntas.

Apéndice

Algunas personas no hacen distinción entre el concepto de propagador y correlador . Llaman a los primeros propagador gratuito y este último propagador exacto (o incluso desnudo vs vestido propagadores). Tenga en cuenta que esto no es muy habitual, pues la mayoría de la gente se limita a llamar a $D_F$ el propagador, y llamar a $C$ correlador (o función de dos puntos). OMI es muy importante entender que son objetos diferentes, por lo que no me gusta usar la misma palabra para ellos.

Dicho esto, parece que simplemente llama a ambos objetos propagador. Si este es el caso, deberías convencerte de que el propagador gratuito es independiente de las interacciones, y el exacto uno no lo es. Por lo tanto, si se va a utilizar la misma palabra para ambas cosas, al menos no se debe utilizar la misma notación. Por ejemplo, en El libro de Srednicki escribe $\Delta$ para el propagador libre, y $\boldsymbol \Delta$ para la exacta. Por cierto, Peskin & Schroeder llaman $C$ correlador, y $D_F$ propagador (ver página 82).

De todos modos, si ves los enlaces que he puesto, puedes ver que $D_F(k)=1/k^2+m^2$ (en el caso de KG), o $D_F(k)=1/\not k-m$ (en la de Dirac). Entonces es fácil ver que no hay constantes de acoplamiento en estas expresiones, por lo que son efectivamente independientes de las interacciones. Por la Serie Dyson se pueden calcular los correlacionadores (que sí dependen de los parámetros de acoplamiento), que vienen dados, en el orden del puño, por los propagadores.