En mis viajes matemáticos, me he topado con la fórmula implícita $y^2+x^2+\frac{y}{x}=1$ y he descubierto que todos los programas de gráficos que he conectado parecen creer que hay un gran conjunto de puntos que satisfacen la ecuación $(y^2+x^2+\frac{y}{x})^{-1}=1$ que no satisfacen la ecuación original y esto me tiene bastante perplejo. Sospecho que se trata simplemente de un fallo en el software y, por lo tanto, esta pregunta podría ser más adecuada en el foro de CS, pero pensé en publicarla aquí primero en el caso de que alguien pueda tener una explicación matemática para este extraño comportamiento. Todas las ideas son bienvenidas.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay un gráfico de color (aka. campo escalar) de $$x^2+y^2+{y\over x}$$ El blanco es alrededor de cero, el gris es positivo y el rojo es negativo. La línea gruesa es $0$ y la línea fina es $1$ su curva original.
Es fácil ver que al tomar la inversa, la línea delgada se conservará, pero se obtendrá una discontinuidad en la línea gruesa, porque un lado irá a $+\infty$ y el otro a $-\infty$ .
Ahora bien, desde el punto de vista de CS, trazar una fórmula implícita como dibujo lineal no es un asunto trivial. Suele hacerse muestreando la fórmula implícita en muchos lugares y luego "cerrando" en torno al valor deseado.
Muchos programas informáticos no son lo suficientemente sofisticados como para tratar las discontinuidades, especialmente cuando se trazan fórmulas implícitas. Por lo tanto, cuando ven un valor negativo en un lado y uno positivo en el otro, concluirán que debe pasar de $1$ en el medio, donde de hecho va a $+\infty$ y vuelve de $-\infty$ .
El software es así de estúpido :-)
Trazados hechos con Grapher, una gran aplicación de trazado que viene gratis con todos los Mac.
Stephan Aßmus
Puntos
16
Simetría de rotación respecto al origen; su versión no permite $x=0$ pero la curva se convierte en una variedad suave si $(0,0)$ se incluye
La función implícita suave es $$ x^3 + x y^2 + y - x = 0 $$ con gradiente $$ \left\langle 3 x^2 + y^2 - 1, 2xy + 1 \right\rangle $$
Para los grandes $|y|,$ resolver la fórmula cuadrática en $y$ muestra $xy \approx -1.$ De hecho, grandes o pequeños, para $x \neq 0$ tenemos $$ y = \frac{-1 \pm \sqrt {1 + 4 x^2 - 4 x^4}}{2x} $$ y requerimos $1 + 4 x^2 - 4 x^4 \geq 0.$
