¿Cómo puedo calcular la proyección de un espacio de Hilbert en un subespacio cerrado?

Question

Me preguntaba si hay una manera fácil de calcular la proyección de un espacio de Hilbert en un subespacio cerrado.

Obviamente se podría escribir $P:H->C$ que viene dado por $P(x)=d$ s.a $d=inf||x-v||$ para cualquier $v\in C$ . Pero estoy buscando una forma de escribir la forma explícita de $P$ para ver ejemplos concretos. ¿Qué método debo seguir para encontrar una forma explícita?

Por ejemplo, tome $H=L^2(R)$ y $C=\{f\in L^2(R)|f-is-even-a.e\}$ . (intuitivamente supongo que la proyección de cualquier $f$ sería una función simétrica idéntica a $f$ en el semiespacio de R (el positivo o el negativo) en el que $f$ tiene mayor norma. pero de nuevo es una suposición y no sé cómo probar tales teorías).

Sinceramente, me gustaría tener algún tipo de método para hacer estas preguntas.

Muchas gracias

Answer 1

El siguiente teorema puede ser útil:

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $C \subseteq H$ sea un subespacio cerrado de $H$ .

Entonces el operador de proyección $P: H \rightarrow C$ es lineal y $y \in C$ satisface $(y - x, z) = 0$ para cualquier $z \in C$ si y sólo si $y = Px$ .

En cuanto al ejemplo, para $f \in H$ , dejemos que $g \in C$ se define por $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ .

Entonces $(f - g)(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ es impar y $(f - g, h) = 0$ para cualquier $h \in C$ .

Queda por demostrar $C$ es un subespacio cerrado.