problema de teoría de números. ¿no hay solución para $x^2 + 2y^2 = 23^2 \pmod{23}$ ?

Question

Demuestre que la siguiente ecuación no tiene solución positiva excepto $(x, y) = (23, 0): x^2 + 2y^2 = 23^2$

Quiero saber el procedimiento detallado

Supongo que en $\mod 23, x^2$ puede ser algún ciclo.

Answer 1

Si $23$ divide $y$ , entonces divide $x$ también. Escribir $x=23u$ y $y=23v$ obtenemos $$ u^2+2v^2=1 $$ lo que implica $u=\pm 1$ y $v=0$ y $x=\pm 23$ y $y=0$ .

Si $23$ no divide $y$ entonces $x^2 \equiv -2y^2 \bmod 23$ y $(xz)^2 \equiv -2 \bmod 23$ , donde $yz \equiv 1 \bmod 23$ .

Esto significa que $-2$ es un residuo cuadrático mod $23$ . Comprobemos El criterio de Euler : $$ (-2)^{\frac{23-1}{2}} = (-2)^{11} = - 2048 \equiv -1 \bmod 23 $$ y así $-2$ es no un residuo cuadrático mod $23$ .