¿Cuál es la diferencia entre $\pi \in \sigma$ à $\pi \in dom(\sigma)$

Question

Estoy leyendo la prueba de 4,20 aquí abajo y no entiendo:

¿Cuál es la diferencia entre $\pi \in \sigma$ à $\pi \in dom(\sigma)$ ?

Tampoco estoy seguro de lo que es $dom(\sigma)$ . ¿Hay algo en el Lemma que me permita afirmar que $\sigma$ ¿es una función o una relación? Porque si no es así, ¿qué puede $dom(\sigma)$ ¿el dominio de una relación o de una función?

Gracias.

Answer 1

$\sigma$ debe ser un $\mathbb P$ -nombre.

Esto significa que en la lengua forzada es decir, las fórmulas que escribimos después de $\Vdash$ , " $\sigma$ " cuenta como una constante. Eventualmente nombrará a un individuo en el modelo $M[G]$ Así que $\sigma$ también puede aparecer como una constante a la derecha de " $M[G]\vDash$ ".

Sin embargo, en $M$ donde decimos "hay algo de $\pi\in\operatorname{dom}(\sigma)$ ", a $\mathbb P$ -nombre es un conjunto de pares $\langle \tau,p\rangle$ donde $\tau$ es en sí mismo un $\mathbb P$ -nombre, y $p\in\mathbb P$ . Qué $\pi\in\operatorname{dom}(\sigma)$ debe significar entonces que $\pi$ es uno de esos $\tau$ s, es decir, el nombre de un posible miembro de la cosa en $M[G]$ que $\sigma$ nombres.

Este $\pi$ también es un nombre, así que $\pi\in\sigma$ es una proposición bien formada en la lengua forzada .

Es posible que $\pi\in\operatorname{dom}(\sigma)$ y sin embargo $M[G]\not\models \pi\in\sigma$ , es decir, si $\langle \pi,q\rangle\in\sigma$ para algunos $q$ que no está en $G$ .

A la inversa, $\pi\in\sigma$ puede ser cierto en $M[G]$ aunque $\pi\notin\operatorname{dom}(\sigma)$ , es decir, si $\pi$ pasa a nombrar al mismo individuo en $M[G]$ que algunos otros nombre en $\operatorname{dom}(\sigma)$ también nombres.