Prueba $x^n+y^n=z^n$ no tiene solución en números naturales para $n\geq z$

Question

Si $x$ , $y$ , $z$ y $n$ son números naturales, y $n\geq z$ entonces demuestre que la relación $x^n + y^n = z^n$ no se sostiene.

Tengo una pregunta: ¿Puedo utilizar aquí directamente el último teorema de Fermats? Me facilita la vida, pero tengo la duda de si en las olimpiadas (si es que preguntan algo así; lo más probable es que no lo hagan :D) puedo afirmar directamente : Por el último teorema de Fermats... y luego proceder, porque hasta ahora no creo haber encontrado una prueba simple y elegante para el teorema. Me gustaría tener sugerencias al respecto. Por favor, ayuda. Cualquier otra solución también es bienvenida.

Answer 1

Aquí hay una prueba sin usar FLT. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x \leq y$ . Claramente $z>y$ Así que $n \geq z \geq y+1$ . Entonces $$z^n \geq (1+y)^n \geq y^n+ny^{n-1} \geq y^n+(1+y)y^{n-1}>2y^n \geq x^n+y^n$$

Answer 2

Matemáticamente, utilizar el último teorema de Fermat sería una prueba válida. Por supuesto, hay que considerar el caso $z=1$ y $z=2$ por separado, porque FLT necesita $n > 2$ y tienes $n > z$ . Si alguna vez dieran este problema en IMO, una solución FLT debería recibir todos los puntos (y por eso nunca darían un problema así allí).

Por supuesto, si se trata de un problema de práctica, y tu objetivo es aprender la teoría de los números en lugar de producir una demostración, probablemente deberías utilizar sólo teoremas que puedas demostrar.

Answer 3

Creo que el objeto de la pregunta es demostrar que $x,y,z,n\in \mathbb N \wedge x^n+y^n=z^n\Rightarrow z\ge 3$ y por lo tanto $n\ge 3$ . Una vez comprobado esto, invocar el FLT sería apropiado.

Además, la pregunta debe utilizar la convención (general pero no universal) $0\not \in \mathbb N$ desde $0^n+0^n=0^n$ para todos $n\ge 1$ , haciendo que $n>z=0$ .

Así que si $x,y \ge 1$ entonces $x^n+y^n\ge 2$ que requiere $z\ge 2$ . Aunque $1^1+1^1=2^1$ esto no satisface $n\ge z$ . También, $1^2+1^2\ne 2^2$ . Si $x>1$ ou $y>1$ entonces $z>2 \Rightarrow n\ge 3$ .