Dejemos que $Z\sim N(0,1)$ . Dar una prueba limpia y rigurosa de que $Z^3$ no puede tener una distribución normal

Question

Tal y como sugiere el título. Simplemente no tengo ni idea de cómo demostrar que una variable aleatoria no está distribuida normalmente. Agradecería alguna pista.

Answer 1

Si $Z^3$ se distribuyera normalmente, entonces tendría una varianza $\mathbf{E}(Z^6) = 15$ ( https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#Moments ) pero esto contradice a la vez el hecho fácil $\mathbf{P}(Z^3 \in (-1,1)) = \mathbf{P}(Z \in (-1,1)).$