Es $\|M^s\|\leq \|M\|^s$ por cada $s\in \mathbb{R}$ ?

Question

Dejemos que $M$ sea un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert complejo $H$ .

Dejemos que $s\in \mathbb{R}$ . Es $$\|M^s\|\leq \|M\|^s\;?$$

Desde $M$ es autoadjunto, entonces por el Teorema Espectral tenemos $$ M^s=\int_{\sigma(M)}\lambda^s\,dE(\lambda). $$ Entonces $$ \|M^s\|\leq\int_{\sigma(M)}|\lambda|^s\,\|dE(\lambda)\|. $$

Answer 1

Considere $$M = \pmatrix{2 & 0 \\ 0 & 3}, \quad M^{-1} = \pmatrix{\frac12 & 0 \\ 0 & \frac13}$$ así que $\|M\| = 3$ y $\|M^{-1}\| = \frac12$ así que $$\|M^{-1}\| \le \|M\|^{-1}$$ rinde $\frac12 \le \frac13$ lo cual no es cierto.

Para los positivos $s > 0$ la afirmación es cierta ya que la función $x \mapsto x^s$ es continua y creciente por lo que $$\|M^s\| = \max_{\lambda \in \sigma(M^s)}|\lambda| = \max_{\lambda\in\sigma(M)}|\lambda^s| = \max_{\lambda\in\sigma(M)}|\lambda|^s = \left(\max_{\lambda\in\sigma(M)}|\lambda|\right)^s = \|M\|^s$$ por lo que incluso la igualdad se mantiene.