Anillos sobre los que cada módulo es gratuito

Question

Sabemos que los módulos sobre campos inclinados son gratuitos. ¿Es cierto lo contrario? En otras palabras, ¿es cierto que un anillo no trivial sobre el que cada módulo es libre es un campo inclinado?

Si el anillo A es conmutativo, entonces escribir que para cualquier ideal apropiado I de A, el módulo A A/I es libre produce el resultado. ¿Y el caso general?

Answer 1

Sí, es cierto que un anillo (con unidad) sobre el cual cualquier módulo es libre es un anillo de división.

Una forma fácil de mostrar esto es decir que si cada módulo es libre, entonces en particular, cada módulo es proyectivo y por lo tanto el anillo es noetheriano. Luego se procede a demostrar que es imposible que el anillo tenga un ideal no trivial, utilizando el hecho de que los anillos noetherianos tienen números de base invariantes.