Demuestre que la curvatura gaussiana de dicha superficie es constante.

Question

El primera fundamental (FF) de una superficie viene dada por $$ds^2 = \frac{du^2}{(u^2+v^2+c^2)^2} + \frac{dv^2}{(u^2+v^2+c^2)^2}$$ Demostrar que el Curvatura gaussiana de dicha superficie es constante

Estaba tratando de encontrar el coeficiente del segundo fundamental (SF). De la condición tenemos $$s_u\cdot s_u = s_v\cdot s_v = \frac{1}{(u^2+v^2+c^2)^2}$$ Para el (SF), tengo que encontrar $s_{uu}, s_{uv}$ y $s_{vv}$ pero con los productos de punto dados no estoy seguro de cómo hacerlo. He intentado diferenciar con $u$ el producto punto $s_u^2$ que dio $$2\cdot s_u \cdot s_{uu} = -\frac{8(u^2+v^2+c^2)u}{(u^2+v^2+c^2)^3}$$ Sin embargo, ¿cómo puedo extraer $s_{uu}$ ¿se va a ir de aquí? ¿O hay algún otro enfoque?

Answer 1

En esta situación no existe la segunda forma fundamental. Para definir la segunda forma fundamental, se requiere que $S$ es una superficie regular en $\mathbb R^3$ . Pero en su descripción, se le da sólo la primera forma fundamental y no una parametrización regular (usando su notación, $s$ ).

Así que tendrás que calcular la curvatura gaussiana usando sólo la primera forma fundamental, lo que puede hacerse usando (por ejemplo)

$$\tag{1}K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial}{\partial u} \frac{E_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v} \frac{G_v}{\sqrt{EG}} \right), $$

ya que en su caso $F = 0$ (es decir, no $dudv$ términos de la primera forma fundamental)

Observación 1 : Como se sugiere en el comentario, la primera forma fundamental dada puede realizarse como la formada por la proyección estereográfica desde la esfera de radio $1/2c$ : dejar $s : \mathbb R^2\to \mathbb R^3$ sea dada por

$$ s(u, v) = \left( \frac{u}{u^2+v^2+c^2}, \frac{v}{u^2+v^2+c^2}, \frac{u^2+v^2-c^2}{2c(u^2+v^2+c^2)}\right).$$

Entonces $$ s_u = \left(-\frac{2u^2}{(u^2+v^2+c^2)^2}+\frac{1}{u^2+v^2+c^2}, -\frac{2uv}{(u^2+v^2+c^2)^2}, \frac{2c u}{(u^2+v^2+c^2)^2} \right)$$ que da

$$s_u\cdot s_u = \frac{1}{(u^2+v^2+c^2)^2}.$$ Del mismo modo, se comprueba $s_u \cdot s_v = 0$ y $s_v\cdot s_v = s_u\cdot s_u$ . Así, $s$ da la primera forma fundamental. Ahora se puede utilizar esta forma explícita $s$ para calcular la segunda forma fundamental, y a partir de ahí, la curvatura gaussiana.

Observación 2 : Estrictamente hablando, hay una laguna en la Observación 1: podría haber otra $s_2$ que induce la misma primera forma fundamental, pero diferente segunda forma fundamental. En efecto, las parametrizaciones regulares

$$ s_1 (u, v) = (u, v, 0), \ \ \ s_2 = (u, \cos v, \sin v)$$ inducen la misma primera forma fundamental: $du^2 + dv^2$ pero $s_1$ tiene una segunda forma fundamental idéntica a cero, mientras que $s_2$ no lo es.

Así que uno podría preguntarse si eso nos da una curvatura gaussiana diferente. Es la Teorema Egregio de Gauss que te dice que no es así: la curvatura gaussiana no depende de la segunda forma fundamental. Así que con el Teorema Egregio de Gauss, uno puede simplemente quedarse con la parametrización dada en la Observación 1 y comenzar el cálculo (bueno, pero entonces sería más fácil simplemente usar (1), que también es una consecuencia del mismo teorema).