¿Importa un término extra de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana para las ecuaciones de campo?

Question

Greiner en su libro "Field Quantization" página 173, eq.(7.11) hizo este cálculo:

${\mathcal L}^\prime=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\frac{1}{2}\partial_\mu A^\mu\partial_\nu A^\nu $
$\space\space\space\space=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$

El último término es una divergencia de cuatro que no influye en las ecuaciones de campo. Por lo tanto, la dinámica del campo electromagnético (en la galga de Lorentz) puede describirse mediante la sencilla lagrangiana

${\mathcal L}^{\prime\prime}=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu$

Sí, si es una cuatro-divergencia de un vector cuyo componente 0 no contiene derivadas temporales del campo De hecho, de acuerdo con el principio variacional, esta cuatro-divergencia no influirá en la ecuación de campo.

Y en realidad calculé la dependencia de la derivada temporal del componente 0 de $[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$ en el que sólo $[A_0(\partial^0 A^0)-(\partial_0 A^0) A^0]$ podría contener la derivada temporal, que afortunadamente desaparece, por lo que cualquiera que sea el caso general no importa en este caso.

Pero cómo puede parecer que afirma que se mantiene para un término general de cuatro divergencias , The last term is a four-divergence which has no influence on the field equations ?

EDITAR:
Sólo he asumido que la condición de contorno es $A^\mu=0$ en el infinito espacial, no en el infinito temporal. Y la variación de la acción $S = \int_{t_1}^{t_2}L \, dt$ se debe a la variación de los campos que desaparecen en el tiempo, $\delta A^\mu(\mathbf x,t_1)=\delta A^\mu(\mathbf x,t_2)=0$ Al no tener el conocimiento de $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_1)$ y $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_2)$ que no desaparecen en general, por lo que el término de cuatro divergencias contribuirá en general a la acción, $$\delta S_j=\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \partial_\mu j(A(x),\nabla A(x),\dot A(x))^\mu =\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \dot j^0 =\int d^3\mathbf x [\delta j(\mathbf x, t_2)^0-\delta j(\mathbf x, t_1)^0]$$ que no se desvanece en general.

Answer 1

I) El argumento geométrico es claro: Consideremos una densidad lagrangiana ${\cal L}=d_{\mu}F^{\mu}$ que es una divergencia total. La acción correspondiente $S[\phi] = \int_M \! d^nx~{\cal L}= \int_{\partial M} \! d^{n-1}x~(\ldots)$ será entonces una integral de contorno, debido a la teorema de la divergencia . Por lo tanto, el correspondiente derivada variacional/funcional ,

$$\tag{1} \frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}$$

que es un objeto que vive en la masa (y no en la frontera), nunca puede ser distinto de idéntico a cero en la masa

$$\tag{2} \frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}~\equiv~0,$$

si existe. (Nota: Incluso para una densidad lagrangiana suficientemente suave ${\cal L}$ La existencia de la derivada funcional es una cuestión no trivial y está ligada a si se asumen o no condiciones de contorno consistentes en la variación).

A continuación, recordemos que (la expresión para) el ecuaciones de campo del movimiento está simplemente dada por el derivado funcional (1) de la acción. Entonces, de acuerdo con la ec. (2), (la expresión para) las ecuaciones de movimiento del campo desaparecen idénticamente.

II) Finalmente, extender el argumento anterior de la sección I por linealidad a una densidad lagrangiana general de la forma ${\cal L}+d_{\mu}F^{\mu}$ que incluyen un término adicional de divergencia total. Concluir, por medio de la linealidad, que este último no contribuye a las ecuaciones de campo del movimiento.

Answer 2

Un término $\int\!d^4x\, \operatorname{Tr}\, F \wedge F$ puede añadirse a una teoría de Yang-mills no abeliana (desaparece trivialmente para el caso abeliano, debido a la cuña), y es una derivada total. Este término no influye en las ecuaciones f de movimiento. Sin embargo, se trata de una carga topológica que cuenta algo parecido al "número de bobinado" del campo gauge.

Otro lugar donde esto entra es en la teoría de cuerdas, donde cuenta el número de asas en la hoja del mundo, permitiendo que la segunda cuantización surja de forma bastante natural.

Answer 3

Si tienes una divergencia de cuatro dentro de una integral sobre todo el espaciotiempo (que es lo que obtienes cuando extremas la acción), el resultado será un término que será algún producto del campo(s) y sus derivadas, evaluado en la frontera del espaciotiempo. Dado que suponemos que todos los campos llegan a cero (con suficiente rapidez, de modo que sus derivadas también llegan a cero) en la frontera, tenemos una contribución de cero, y podemos ignorar con seguridad el término.

Sin embargo, puede haber algunas sutilezas que impidan utilizar este argumento en algunos casos, que desconozco. Espero que alguien con más conocimientos que yo pueda arrojar algo de luz sobre esto.

EDIT: Mira los comentarios de abajo para obtener información adicional.