Comportamiento asintótico de de registro registro de suma

Question

Estoy interesado en el asymptotics de $$F(m) := \prod_{j=1}^m \log(j+1) = \exp\left(\sum_{j=1}^m \log \log(j+1) \right)$$

Hay algo conocido? Si no me imagino que voy a necesitar algunas buenas límites en las $\log\log$-a la función? Gracias!

Answer 1

Esto podría ser útil para desarrollar el comportamiento asintótico de la suma:

Definir $f(x)=\log \log (x)$, entonces el uso de este enlace usted puede escribir $$\sum_{j=2}^{m-1}\log \log (j)=\log \log2+\int_2^{m-1}f(x)dx+B_1(f(m-1)-f(2))+\sum_{k=1}^p\Big(f^{(2k-1}(m-1))-f^{(2k-1)}(2)\Big)\frac{B_{2k}}{(2k)!}+R$$

$B$'s son los números de Bernoulli, ver el enlace de arriba.