¿Existen mapas inyectivos desde un autómata celular de mayor a menor dimensión?

Question

Supongamos que tenemos un autómata celular en $\mathbb Z^n$ con valores de celdas en el conjunto finito $V$ con función de actualización $u : V^{\mathbb Z^n} \to V^{\mathbb Z^n}$ y, de forma similar, otro autómata celular en $\mathbb Z^m$ con valores en $V'$ , con función de actualización $u' : V'^{\mathbb Z^m} \to V'^{\mathbb Z^m}.$

Esto quiere decir que $u$ y $u'$ son mapas continuos invariantes por desplazamiento en los espacios del producto infinito $V^{\mathbb Z^n}$ y $V'^{\mathbb Z^m}$ respectivamente.

Supongamos ahora que $n > m$ y tenemos un mapa $\phi : V^{\mathbb Z^n} \to V'^{\mathbb Z^m}$ con las siguientes propiedades:

1. $\phi$ "conmuta" con $u$ y $u'$ : $\phi \circ u = u' \circ \phi$ y
2. para cualquier punto $p \in \mathbb Z^m$ el mapa $f \mapsto \phi(f)(p)$ depende sólo de un número finito de valores de $f$ es decir, existe un conjunto finito $Q_p \subsetneq \mathbb Z^n$ tal que $\phi(f)(p)$ es una función de $f|_{Q_p}$ . (Así que $\phi$ es, en particular, continua).

(Por comodidad, supongamos que cada $Q_p$ es mínimo).

Ahora, la pregunta:

Pregunta: ¿Es posible que $\phi$ para ser inyectable? Si no es así, ¿tenemos realmente la afirmación más fuerte de que cualquier fibra $\phi^{-1}(f')$ de $\phi$ es vacío o infinito?

Esto parece similar en espíritu a la afirmación de que un mapa continuo de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^m$ con $n > m$ no puede ser inyectiva; aquí la noción de continuidad viene dada por las 2 propiedades anteriores sobre $\phi$ .

Answer 1

Sí, es posible construir autómatas celulares $u:V^{\mathbb{Z}^n}\to V^{\mathbb{Z}^n}$ y $u':V'^{\mathbb{Z}^m}\to V'^{\mathbb{Z}^m}$ y la biyección continua $\phi:V^{\mathbb{Z}^n}\to V'^{\mathbb{Z}^m}$ tal que $\phi\circ u=u'\circ\phi$ .

Dejemos que $V=V'=\{0,1\}$ y que $u$ y $u'$ sean los mapas (uno en $V^{\mathbb{Z}^n}$ el otro en $V'^{\mathbb{Z}^m}$ ) que convierten cada configuración en el todo- $0$ configuración. Dejemos que $\gamma:\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}^m$ sea una biyección entre $\mathbb{Z}^n$ y $\mathbb{Z}^m$ y establecer $\phi(f)(p):=f(\gamma^{-1}(p))$ .

Sin embargo, si necesita que $\phi$ se desplaza con $\mathbb{Z}^m$ -(en el espíritu de los autómatas celulares), entonces la respuesta es negativa, porque existe un obstáculo de entropía. Más concretamente, para cada $i=(i_1,i_2,\ldots,i_m)\in\mathbb{Z}^m$ escribamos $\overline{i}:=(i_1,i_2,\ldots,i_m,0,0,\ldots,0)\in\mathbb{Z}^m$ . Denote por $\sigma^i$ y $\sigma^{\overline{i}}$ los mapas de traducción en $V^{\mathbb{Z}^m}$ y $V'^{\mathbb{Z}^n}$ por vectores $i$ y $\overline{i}$ respectivamente. Entonces, siempre que $|V|,|V'|\geq 2$ no existe ninguna biyección continua $\phi$ tal que $\phi\circ\sigma^{\overline{i}}=\sigma^i\circ\phi$ para cada $i\in\mathbb{Z}^m$ .