El disco de la unidad abierta y el cuadrado de la unidad abierta $(0,1) \times(0,1)$ son homeomórficos.

Question

El disco de la unidad abierta en $\Bbb R^2$ centrado en el origen y el cuadrado unitario abierto $(0,1) \times(0,1)$ son homeomórficos.

Lo he probado en los siguientes pasos:

1) el disco unitario abierto es homeomorfo a $\Bbb R^2$

2) $(-1,1)$ es homeomorfo a $\Bbb R$

3) $(-1,1)$ es homeomorfo a $(0,1)$

Así, tenemos un homeomorfismo de $(0,1)$ a $\Bbb R$ digamos que $h$ .

4) Definir $f : \text{open unit square} \to \Bbb R^2$ como $(x,y) \to (h(x),h(y))$

Así, combinando 4 y 1 tenemos el homeomorfismo de disco unitario abierto a cuadrado unitario abierto.

¿Es la solución correcta? ¡Si hay algún método fácil de hacerlo por favor hágamelo saber!

El primer mapa viene dado por $x \to \frac{x}{1-\|x\|}$ y el mapa inverso por $x \to \frac{x}{1+\|x\|}$ .

Answer 1

¡Esto me parece bien! Personalmente, combinaría los pasos 2 y 3 y mostraría directamente que $\mathbb{R}$ es homeomorfo a $(0,1)$ pero eso es realmente una elección personal.

Una forma diferente podría ser construir el homeomorfismo entre los dos espacios directamente, pero tu enfoque me parece más bonito y más intuitivo.

Answer 2

Se ve bien, pero para ser honesto su paso $1.$ parece ser exactamente tan difícil como el problema original. ¿Cómo lo has demostrado? ¿Estás seguro de que no puedes adaptar tu prueba para obtener directamente el homeomorfismo requerido?