Dejemos que $f:X \rightarrow Y $ sea un morfismo de esquemas S. Supongamos que X es reducido y dotamos a la imagen del morfismo del grafo $\Gamma_f:X \rightarrow X \times_S Y $ , llámese A, con una estructura de subesquema cerrado reducido. Demuestre que si Y está separado sobre S, entonces la proyección $X \times_S Y \rightarrow X$ induce un isomorfismo de A sobre X.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Uberfuzzy
Puntos
2492
El morfismo del grafo $\Gamma_f : X \to X \times_S Y$ induce un morfismo $g : X \to A$ que satisface por definición $(p|_A) \circ g = 1_X$ y $(q|_A) \circ g = f$ , donde $p : X \times_S Y \to X$ y $q : X \times_S Y \to Y$ son las proyecciones. Desde $Y$ se separa sobre $S$ el morfismo del gráfico $\Gamma_f$ es de hecho una inmersión cerrada; esto es fácil, véase por ejemplo (EGA I, (5.2.4)) (en la edición de Springer). Por tanto, existe un subesquema cerrado $A' \subset X \times_S Y$ y el isomorfismo $g' : X \stackrel{\sim}{\to} A'$ tal que $\Gamma_f$ factores a través de $g'$ y la inclusión, por lo que $\Gamma_f = g \circ j = g' \circ j'$ , donde $j : A \hookrightarrow X \times_S Y$ y $j' : A' \hookrightarrow X \times_S Y$ son las inclusiones. De ello se desprende que $p \circ j \circ g = p \circ j' \circ g'$ . Como la primera es igual a la identidad $1_X$ en $X$ , uno tiene $p \circ j' \circ g' = 1_X$ ya que $g'$ es un isomorfismo, $p$ es por tanto un isomorfismo en $A'$ . Considerado como un mapa del espacios topológicos subyacentes , $g : X \to A$ es claramente suryente (y por tanto un homeomorfismo) ya que $A = g(X)$ . Consideremos los homeomorfismos $u = g' \circ g^{-1} : A \to A'$ y $v = g \circ g'^{-1} : A' \to A$ de los espacios subyacentes de $A$ y $A$ '; ya que $j \circ v = j \circ g \circ g'^{-1} = j' \circ g' \circ g'^{-1} = j'$ y de manera similar $j' \circ u = j$ se obtiene una igualdad $A = A'$ de los espacios subyacentes de $A$ y $A'$ . Desde $A'$ es isomorfo como esquema al régimen reducido $X$ y $A$ es por definición el único subesquema reducido de $X \times_S Y$ teniendo $A$ como su espacio subyacente, se deduce que $A$ y $A'$ son efectivamente el mismo subesquema de $X \times_S Y$ . Finalmente, se ve que $p \circ j = p \circ j'$ es un isomorfismo de $A = A'$ a $X$ .
