dejar $x_1$ y $x_2$ sean variables uniformes independientes de [0, 2]. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x_1-x_2| \leq 1$ ?

Question

Lo que tengo hasta ahora

Ya que ambas son variables uniformes continuas. Y como son independientes, podemos decir que

$$f(x_1, x_2)=\frac{1}{4}$$

$$P(|x_1-x_2| \leq 1) = P(x_1-1 \leq x_2 \leq x_1+1)$$

$$P(x_1-1 \leq x_2 \leq x_1+1) = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{x_1 - 1}^{x_1 + 1}\frac{1}{4}dx_2dx_1$$

Lo que me cuesta es

Sin embargo, cuando calculo la mencionada integral, obtengo una probabilidad de $1$ o $100\%$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{x_1 - 1}^{x_1 + 1}\frac{1}{4}dx_2dx_1 = \int_{0}^{2} \int_{x_1 - 1}^{x_1 + 1}\frac{1}{4}dx_2dx_1 = 1$$

Sé que se supone que tengo que conseguir $\frac{3}{4}$ . Pero no tengo ni idea de cómo.

Answer 1

En casos como éste, cuando se trata de la integración sobre un rango restringido de una función multivariante, ayuda a trazar el dominio de integración:

                       

A partir de este gráfico podemos ver cómo desglosar la integral:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \iint \limits_{\begin{matrix} |x_1-x_2| \leqslant 1 \\ 0 \leqslant x_1 \leqslant 2 \\ 0 \leqslant x_2 \leqslant 2 \end{matrix}} f(x_1,x_2) \ dx_1 \ dx_2 &= \int \limits_0^2 \int \limits_{\max (0, x_1-1)}^{\min (2, x_1+1)} f(x_1,x_2) \ dx_2 \ dx_1 \\[6pt] &= \int \limits_0^1 \int \limits_0^{x_1+1} f(x_1,x_2) \ dx_2 \ dx_1 + \int \limits_1^2 \int \limits_{x_1-1}^2 f(x_1,x_2) \ dx_2 \ dx_1. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Answer 2

Además de la condición $x_1-1 \leq x_2 \leq x_1+1$ hay que recordar que $x_2$ tiene que estar entre $0$ y $2$ . Por ejemplo, si $x_1 <1$ entonces $x_1-1 <0$ por lo que la integral con respecto a $x_2$ no puede partir del número negativo $x_1-1$ .

Si $x_1 <1$ entonces la integral con respecto a $x_2$ comienza a partir de $0$ y si $x_1 >1$ entonces la integral termina en $2$ . Así que divide la integral en dos partes dependiendo de si $x_1 <1$ o $>1$ .

Así que hay que calcular $\int_0^{1} \int_0^{x_1+1} \frac 1 4 dx_2dx_1+\int_1^{2} \int_{x_1-1}^{2} \frac 1 4 dx_2dx_1$ .