Extensiones no divididas de $GL_n(F_q)$ por $F_q^n$ ?

Question

Una pregunta muy ingenua: Acabo de enterarme de que existe una extensión no dividida de $GL_3(F_2)$ por $F_2^3$ (con acción estándar). Se puede realizar como el subgrupo del grupo de automorfismo $G_2$ de octavas de Cayley-Graves (editar: octoniones) que conservan hasta firmar la base $e_i$ , $i=1..7$ de octavas imaginarias. ¿Sucede esto para otros valores de $(n,q)$ (como en el título) ?

Answer 1

Esto nunca ocurre para campos finitos $F \neq \mathbb{F}_2$ . Si un grupo $G$ actúa sobre un grupo abeliano $M$ , entonces las secuencias cortas exactas

$1 \rightarrow M \rightarrow \Gamma \rightarrow G \rightarrow 1$

se clasifican por elementos de $H^2(G;M)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que si $F \neq \mathbb{F}_2$ es un campo finito y $V = F^n$ alors $H^2(GL_n(F);V)=0$ . De hecho, demostraremos que $H^k(GL_n(F);V)=0$ para todos $k$ .

Tenemos una corta secuencia exacta

$1 \rightarrow F^{\times} \rightarrow GL_n(F) \rightarrow PGL_n(F) \rightarrow 1.$

A esto se asocia la secuencia espectral de Hochschild-Serre en cohomología con coeficientes en $V$ . El $E_2$ -Término es $H^p(PGL_n(F);H^q(F^{\times};V))$ . El hecho clave aquí es que $H^q(F^{\times};V)=0$ para todos $q$ .

En la página 58 del libro de Brown sobre cohomología de grupos, hay un cálculo de la cohomología de grupos cíclicos finitos con coeficientes no triviales. En el caso que estamos considerando, es como sigue. Definir $N = \sum_{x \in F^{\times}} x \in \mathbb{Z}[F^{\times}]$ (por supuesto, $N$ actúa como $0$ en $V$ pero olvídalo por el momento). A continuación, obtenemos un mapa $N : V \rightarrow V$ cuya imagen se encuentra en el anillo de invariantes $V^{F^{\times}}$ y que satisface $N(gv)=N(v)$ para todos $g \in F^{\times}$ y todos $v \in V$ . Sea $V_{F^{\times}}$ sea el anillo de coinvariantes, es decir, el cociente de $V$ por el subespacio abarcado por $\langle g v-v\ |\ g \in F^{\times},\ v \in V\rangle$ . Obtenemos un mapa inducido $\overline{N}:V_{F^{\times}} \rightarrow V^{F^{\times}}$ . El resultado es entonces que $H^0(F^{\times};V) = V^{F^{\times}}$ que $H^i(F^{\times};V) = ker\ \overline{N}$ para $i \geq 1$ impar, y que $H^i(F^{\times};V) = coker\ \overline{N}$ para $i \geq 1$ incluso. Pero claramente $V^{F^{\times}} = 0$ y como $F$ no es el campo con $2$ también tenemos $V_{F^{\times}} = 0$ . El resultado es el siguiente.

Answer 2

Existe una famosa extensión no dividida llamada "grupo Dempwolff", $2^5 \cdot GL_5(2) = 2^5 \cdot SL_5(2)$ . Y aparentemente este es el caso más grande para el que sucede, como se puede ver en la página de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Dempwolff_group .

Si considera que $SL_n$ en lugar de $GL_n$ Hay más extensiones no divididas, por ejemplo $5^3 \cdot SL_3(5)$ .

Answer 3

Hay una explicación elemental (no cohomológica) de la teoría de grupos para explicar por qué $GL(n,q)$ debe dividirse sobre su módulo natural en la característica impar. Supongamos que $N \triangleleft G$ , donde $G/N \cong GL(n,q)$ con $q$ impar y $N$ es isomorfo al módulo natural de $G/N$ . El negativo de la matriz de identidad en $GL(n,q)$ es un elemento central de orden $2$ que actúa sobre $N$ sin puntos fijos no identitarios. Por lo tanto, existe $T \triangleleft G$ con $N \subseteq T$ tal que $T/N$ tiene orden $2$ y si $S$ es un Sylow $2$ -subgrupo de $T$ entonces ${\bf C}_N(S) = 1$ . Ahora dejemos que $K = {\bf N}_G(S)$ . Por el argumento de Frattini, $G = TK = NSK = NK$ . También, $N \cap K = 1$ desde $T$ debe centralizar $N \cap K$ . Así, $K$ es el complemento deseado para $N$ en $G$ .

Answer 4

Escribo esto como una "respuesta" porque (a) hay varios comentarios y (b) no sé si cabría en un comentario.

Dejemos que $F$ un campo finito, y sea $V$ una dimensión finita $F$ -espacio vectorial, y la vista $V$ como $F^\times$ -módulo a través de la multiplicación. Entonces, como se señala en la respuesta de Andy Putman, $H^i(F^\times,V) = 0$ para todos $i \ge 0$ proporcionado $|F| > 2$ .

Bueno, está bastante claro bajo el supuesto $|F|>2$ que $H^0(F^\times,V) = V^{F^\times} = 0$ . Para la cohomología superior no es necesario utilizar la descripción de la "cohomología de los grupos cíclicos" para obtener esta desaparición; la cuestión es simplemente que $|F^\times|$ es invertible en $F$ . Utilice la siguiente generalidad:

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de índice finito $n$ en un grupo $G$ . Si $M$ es un $\mathbf{Z}G$ -módulo, entonces $\operatorname{Cor} \circ \operatorname{Res}$ es la multiplicación por $n$ en $H^\bullet(G,M)$ , donde $\operatorname{Cor}:H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)$ denota la corestricción y $\operatorname{Res}:H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H,M)$ la restricción; véase, por ejemplo, el caso de Serre Campos locales VII.7, VIII.2.

Dejemos ahora $k$ sea un anillo conmutativo (con 1), supongamos que $H=1$ y que $n = [G:1]= |G|$ es invertible en $k$ . Si $M$ es un $kG$ -(es decir, un módulo a $k$ -módulo con $k$ -lineal $G$ acción), entonces todos los $H^i(G,M)$ son $k$ -módulos y $H^i(H,M) = H^i(1,M) = 0$ para $i>0$ . Para $i>0$ El resultado anterior muestra que estos $k$ -que se aniquilen por la unidad $n$ de $k$ por lo tanto $H^i(G,M) = 0$ para $i>0$ .

Para aplicar este resultado en la configuración original, tome $k=F$ , $M=V$ y $G=F^\times$ ; nos encontramos con que $H^i(F^\times,V) = 0$ para $i>0$ .