Mostrando un cierto límite o un límite superior de va a cero

Question

Tengo el siguiente límite que sé que es igual a cero (usando Mathematica soft.), sin embargo, no puedo demostrarlo analíticamente.

$\lim_{L \rightarrow \infty} (\ln{L})^2\left[1-\left(1-e^{-\frac{1}{2}(\sqrt{L}-2)}\right)^L\right]$

Agradecería cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Para $L\ge4$ , La desigualdad de Bernoulli dice $$ \begin{align} \log(L)^2\left[1-\left(1-e^{-\frac12(\sqrt{L}-2)}\right)^L\right] &\le\log(L)^2\left[1-\left(1-Le^{-\frac12(\sqrt{L}-2)}\right)\right]\\ &=\log(L)^2Le^{-\frac12(\sqrt{L}-2)} \end{align} $$

Answer 2

Supongamos que $L$ es un número natural

Por lo tanto, $$\lim_{L \rightarrow \infty}\ (\ln{L})^2\left[1-\left(1-L e^{-\frac{1}{2}(\sqrt{L}-2)}\right)\right] =\lim_{M\rightarrow \infty}\ M^ka^{M}=0$$ para algunos $0<a<1$ y algunos $k>1$