Función de onda de un protón y un neutrón con y sin isospín

Question

Supongamos que tengo un protón y un neutrón en un pozo de potencial de oscilador armónico externo. Despreciemos primero todas las interacciones entre los dos: como son partículas distinguibles concluyo que sus eigenfunciones hamiltonianas son:

$$ \Psi(r_1, r_2) = \phi_p (r_1) \phi_n (r_2),\tag{1}$$

donde el $\phi_i$ s son cualquier función propia del Hamiltoniano. Ahora bien, si hago lo mismo pero pensando en términos de isospín concluyo que la función propia debe ser en cambio

$$ \Psi(r_1, r_2) = \phi_{\tau = \frac{1}{2} } (r_1) \phi_{\tau = - \frac{1}{2} } (r_2) - \phi_{\tau = - \frac{1}{2} }(r_1) \phi_{\tau = \frac{1}{2}} (r_2)$$

debido a la antisimetría. Estas dos expresiones son claramente diferentes. ¿Son estos dos formalismos equivalentes cuando se trata de problemas que implican la interacción fuerte? Si introduzco una interacción electromagnética, ¿desaparece el requisito de antisimetría, haciendo que $(1)$ ¿el más adecuado para el nuevo problema que se plantea?

Answer 1

Creo que te equivocas con las ideas sobre las interacciones. No se trata de interacciones, sino de simetría.

Sea A un estado HO y B el otro.

Si consideramos que el neutrón y el protón son partículas no idénticas, y dejamos que el primer número cuántico sea una etiqueta para el protón, entonces los estados |A,B> y |B,A> son ortogonales. En el primer estado, el protón está en el estado A y el neutrón en el estado B. En el segundo estado, es al revés. Como son ortogonales, esperamos que sean distinguibles experimentalmente. Por ejemplo, un estado podría tener un momento cuadrupolar eléctrico evanescente y el otro uno no evanescente.

Si se considera que el neutrón y el protón son partículas idénticas con diferente isospín, entonces estos estados podrían anotarse como |A,p;B,n> y |A,n;B,p>. De nuevo son ortogonales, y todo es como antes, incluyendo los vínculos con las cantidades observables. La antisimetrización no tiene ningún efecto sobre estos hechos.

Si ahora se considera |A,p;B,n> en comparación con |B,n;A,p>, entonces no son ortogonales entre sí. Queremos que sean dos etiquetas diferentes para el mismo estado. Si quieres representarlos en términos de funciones de onda espaciales explícitas, entonces podrías asegurarlo utilizando un determinante de Slater.