Existe una oportunidad de arbitraje si el precio de un activo $V_t$ (considerado como un proceso estocástico en un espacio de probabilidad filtrado) satisface en el momento actual $0$ y el tiempo futuro $T$
$$V_0 = 0, \quad P(V_T \geqslant 0) = 1, \quad P(V_T \neq 0) > 0.$$
En otras palabras, podríamos comprar el activo por nada y el valor futuro es casi seguramente no negativo con una probabilidad no nula de un valor positivo.
En ausencia de arbitraje, existe una medida de probabilidad $Q$ llamada medida neutral de riesgo, tal que el precio de un activo $V_t$ en cualquier momento $0 \leqslant t \leqslant T$ puede obtenerse como valor esperado. En concreto, es la expectativa del precio futuro bajo condición de toda la información conocida en el momento $t$ y descontado al tipo libre de riesgo $r$ :
$$V_t \,= \,e^{-r(T-t)}\,\,E^{Q}(V_T \,| \,\mathcal{F}_t).$$
En cuanto a la opción de compra, el valor futuro o el pago en el momento del vencimiento $T$ se da en términos de un activo subyacente (por ejemplo, el precio de una acción). Al vencimiento, el titular de la opción de compra recibe el activo subyacente con precio $S_T$ a cambio del pago del precio de ejercicio $K$ por lo que el valor de la opción al vencimiento debería ser $C_T = \max(S_T- K,0)$ . El máximo aparece aquí porque un tenedor racional no elegiría ejercer si el valor del activo fuera inferior al precio de ejercicio. Además, en la práctica, muchas opciones no requieren un intercambio físico, sino que se liquidan en efectivo.
Dado que el precio de una acción no puede tener un valor inferior a cero (los accionistas tienen una responsabilidad limitada) el valor de la opción de compra en el momento $t$ puede expresarse como
$$C_t = e^{-r(T-t)} \int_0^\infty \max(S_T-K,0) f(S_T |S_t)\, dS_T \\= e^{-r(T-t)} \int_K^\infty (S_T-K) f(S_T|S_t) \, dS_T$$
donde $f(S_T|S_t)$ es la densidad de probabilidad condicional del precio futuro de las acciones $S_T$ (dado el precio actual conocido $S_t$ ).
El punto de partida habitual para la fijación de precios de las opciones es suponer que, bajo la medida de neutralidad del riesgo, $S_t$ sigue un proceso estocástico de la forma
$$\frac{dS_t}{S_t} = r \, dt + \sigma \, dZ_t$$
donde $Z_t$ es un movimiento browniano y el parámetro $\sigma$ se llama la volatilidad. En este caso, la densidad de probabilidad $f$ será una PDF normal y se puede encontrar una solución de forma cerrada en función de los parámetros ya discutidos:
$$C_t = C(t; T,S_t,K,r, \sigma) = \text{Black-Scholes formula}$$
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