Necesito ayuda con un problema de convergencia de la prueba M de Weierstrass

Question

Intento utilizar la prueba M de Weierstrass para demostrar que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{x}}{3^{n}-5}$$ es convergente en $[0,a]$ para $a \in \mathbf{R}$ tal que $a>0$ . Pero no estoy seguro de cómo encontrar una serie de números $M_{n}$ tal que $\left|\frac{n^{x}}{3^{n}-5}\right| \leq M_{n}$ debido al numerador que contiene $n^{x}$ .

Answer 1

Se puede observar que, para cualquier número real $x$ , $$ \lim_{n \to \infty}\left|\frac{n^{x+2}}{3^{n}-5}\right|=0 $$ dando eso, existe $C$ tal que, para todo $n\ge n_0$ , $$ \left|\frac{n^{x+2}}{3^{n}-5}\right|\le C \implies \left|\frac{n^{x}}{3^{n}-5}\right|\le\frac{C}{n^2}=M_n. $$ entonces se puede concluir, ya que $\sum M_n$ es convergente.