Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos (1,3,-4) y (3,2,1)

Question

Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos $(1, 3, -4)$ y $(3, 2, 1)$

Sé que la respuesta correcta es $[3, 2, 1] + t[2, -1, 5]$

pero según esto video la respuesta debería ser el primer punto $[1, 3, -4] + t[2, -1, 5]$

¿Importa el punto que utilice?

Answer 1

No importa. Si la línea pasa por ambos puntos, no importa cuál es su inicio.

$[3, 2, 1] + t_1[2, -1, 5]$

$[1, 3, -4] + t_2[2, -1, 5]$

Para demostrar que son equivalentes, considere $t_2=t_1+1$ entonces

$[1, 3, -4] + t_2[2, -1, 5] = [1, 3, -4] + (t_1+1)[2, -1, 5] = [1, 3, -4] + t_1[2, -1, 5] + [2, -1, 5] = [3, 2, 1] + t_1[2, -1, 5]$

Answer 2

Toma la diferencia de los dos vectores (para obtener el vector de dirección), y utiliza cualquiera de los dos puntos para parametrizar la línea: $\{(1,3,-4)+t(2,-1,5): t\in\Bbb R\}=\{(3,2,1)+t(2,-1,5): t\in\Bbb R\}$ .