Ergodicidad de una secuencia de bloques independientes

Question

Estoy atascado con el problema que se presenta a continuación, más precisamente, con la parte relativa a la ergodicidad. Tengo una prueba, también presentada a continuación, pero no parece ser correcta; bueno, al menos, no suena como una prueba matemática sólida.

Problema (Bloques independientes, Ejercicio 7.1.6 en Durrett):

Sea $X_1, X_2, \dotsc$ una secuencia estacionaria. Sea $n < \infty$ y sea $Y_1, Y_2, \dotsc$ una secuencia tal que $(Y_{nk+1}, \dotsc, Y_{n(k+1)})$, $k \geq 0$ son i.i.d. y $(Y_1, Y_2, \dotsc, Y_n) = (X_1, X_2, \dotsc, X_n)$. Finalmente, sea $\nu$ uniformemente distribuida en $\{1, 2, \dotsc, n\}$, independiente de Y, y sea $Z_m = Y_{\nu + m}$ para $m \geq 1$. Muestra que Z es estacionaria y ergódica.

Prueba (solo ergodicidad):

Sabemos que, para una secuencia i.i.d., la ley 0-1 de Kolmogorov implica que el $\sigma$-campo de cola es trivial (Ejemplo 7.1.6 en Durrett). Por lo tanto, el $\sigma$-campo de cola del proceso formado por los bloques (independientes) de la secuencia $Y$ es trivial. Este $\sigma$-campo de cola es \begin{align*} \mathcal{T}_Y & = \cap_{k = 1}^\infty \sigma(Y_{nk + 1}, \dots, Y_{n(k + 1)}, Y_{n(k + 1) + 1}, \dots, Y_{n(k + 2)}, \dots) \\ & = \sigma(Y_{n + 1}, \dots) \cap \sigma(Y_{2n + 1}, \dots) \cap \sigma(Y_{3n + 1}, \dots) \cap \dots \\ & = \mathcal{F}_{n + 1} \cap \mathcal{F}_{2n + 1} \cap \mathcal{F}_{3n + 1} \cap \dots \end{align*} Ahora, veamos el $\sigma$-campo de cola de la secuencia $Z$: \begin{align*} \mathcal{T}_Z & = \cap_{k = 1}^\infty \sigma(Z_k, Z_{k + 1}, \dots) = \cap_{k = 1}^\infty \sigma(Y_{\nu + k}, Y_{\nu + k + 1}, \dots) \\ & = \sigma(Y_{\nu + 1}, \dots) \cap \sigma(Y_{\nu + 2}, \dots) \cap \sigma(Y_{\nu + 3}, \dots) \cap \dots \\ & = \mathcal{F}_{\nu + 1} \cap \mathcal{F}_{\nu + 2} \cap \mathcal{F}_{\nu + 3} \cap \dots \end{align*} Se puede ver que la secuencia de $\sigma$-álgebras de $Z$ es perfecta: dependiendo del resultado de $\nu$, comienza desde $\mathcal{F}_{\nu + 1}$ (desde $\mathcal{F}_{n + 1}$ en el peor caso) y no tiene brechas adicionales. Por otro lado, la secuencia de $\sigma$-álgebras de $Y$ comienza exactamente desde $\mathcal{F}_{n + 1}$ y tiene brechas. Cuantos más términos estén involucrados en una intersección, más pequeño es el conjunto resultante. Por lo tanto, $\mathcal{T}_Z \subset \mathcal{T}_Y$, y, por lo tanto, la secuencia de $Z$ es ergódica.

La idea aquí es demostrar la propiedad de ergodicidad de la secuencia $Z$ mostrando que el $\sigma$-campo de cola de esta secuencia es trivial, y esto se hace demostrando que este $\sigma$-campo de cola está contenido en el $\sigma$-campo de cola de la secuencia formada por los bloques independientes de la secuencia $Y$.

Apreciaría cualquier sugerencia.

Saludos, Iván

Answer 1

La secuencia $(Y_k)$ es $n$-dependiente porque los bloques de $n$ son independientes. Al utilizar el hecho de que $\nu$ es independiente de $Y$, obtenemos que $Z$ es $2n$-independiente. Luego utilizamos un argumento similar al de la ley cero-uno.

Answer 2

Me encantaría si alguien pudiera confirmar que la siguiente prueba es correcta.

Prueba (solo ergodicidad):

Según la definición, la secuencia $Z$ es ergódica si $$ P((Z_1, Z_2, \dotsc) \in B) \in \{0, 1\} $$ cuando $B \in \mathcal{R}^{\{0, 1, \dotsc\}}$ tiene $$ \{ (Z_1, Z_2, \dotsc) \in B \} = \{ (Z_2, Z_3, \dotsc) \in B \}. \tag{$\ast$} $$ Sea $A = \{ (Z_1, Z_2, \dotsc) \in B \}$, que es invariante bajo desplazamiento según ($\ast$). Ahora debemos mostrar que $P(A) \in \{0, 1\}$. Al aplicar iterativamente el operador de desplazamiento a ($\ast$), $A \in \sigma(Z_k, Z_{k + 1}, \dotsc)$ para $k \geq 1$; por lo tanto, $$ A \in \cap_{k = 1}^\infty \sigma(Z_k, Z_{k + 1}, \dotsc) = \mathcal{T}_Z, \text{ el $\sigma$-campo de cola de la secuencia.} $$ Luego, para cualquier $B \in \mathcal{R}$, debido a la independencia de $Y$ y $\nu$, $$ \{ Z_m \in B \} = \{ Y_{m + \nu} \in B \} = \cup_{k = 1}^n \{ \nu = k \} \cap \{ Y_{m + k} \in B \} \subseteq \cup_{k = 1}^n \{ Y_{m + k} \in B \}. $$ Por lo tanto, $$ \sigma(Z_m) \subseteq \sigma(Y_{m + 1}, \dotsc, Y_{m + n}). $$ Consecuentemente, $$ \mathcal{T}_Z \subseteq \mathcal{T}_Y = \cap_{k = 1}^\infty \sigma(Y_k, Y_{k + 1}, \dotsc), \text{ el $\sigma$-campo de cola de la secuencia de bloques.} $$ Finalmente, por la ley cero-uno de Kolmogorov, el $\sigma$-campo de cola de la secuencia de bloques, $\mathcal{T}_Y$, es trivial. Por lo tanto, $P(A) \in \{0, 1\}$ ya que $A \in \mathcal{T}_Z \subseteq \mathcal{T}_Y$.