Prueba de cardenales |A| ≤ |B| si |B| ≥ |A|

Question

Así que tengo un poco de problemas para probar esto.

 |A| ≤ |B| iff |B| ≥ |A| 

sé, que si |A| ≤ |B| => f: A => B, must be injective

e igualmente, that if |B| ≥ |A| => g: B => A, A = ø or it must be surjective .

Bien, pero ¿cómo hago exactamente esta prueba? Estoy un poco perdido sobre cómo escribirla de una manera matemáticamente precisa. ¿Alguien podría ayudarme?

Gracias de antemano

Answer 1

Probaré la primera implicación y le dejaré la otra a usted.
Supongamos que $\vert A\vert\leq \vert B\vert$ .
Si $A=\emptyset$ no hay nada que probar, así que podemos asumir $A\ne\emptyset$ . Desde $\vert A\vert\leq \vert B\vert$ existe un mapa inyectivo $f:A\to B$ . Demostramos que esto tiene un inverso a la izquierda, es decir, hay un $g:B\to A$ tal que $g\circ f=\operatorname{id}_A$ . Escoge $a_0\in A$ arbitraria (posible ya que $A\ne\emptyset$ ). Entonces definimos $g:B\to A$ de la siguiente manera: \begin{align*} g(b)=\begin{cases} a ~\text{if }a\in A,f(a)=b\\a_0~\text{otherwise, i.e. if }b\notin f(A)\end{cases} \end{align*} Obsérvese que esto está bien definido ya que $f$ es inyectiva, es decir, si hay algún $a\in A$ con $f(a)=b$ entonces esto $a$ está determinada de forma única. Del mismo modo, podemos comprobar que $g\circ f = \operatorname{id}_A$ . Ahora afirmamos que este $g$ tiene que ser sobreyectiva. Sea $a\in A$ . Entonces $g(f(a))=\operatorname{id}_A(a)=a$ por lo que $f(a)$ es una preimagen de $a$ para $g$ Así que $g$ es suryente. Así que demostramos que existe un mapa suryectivo $B\to A$ Por lo tanto $\vert B\vert\geq\vert A\vert$ .
Ahora haz algo similar para la otra dirección, es decir $\vert B\vert\geq\vert A\vert\implies \vert A\vert\leq\vert B\vert$ .

(Aquí he asumido que la definición de $\vert B\vert\geq\vert A\vert$ es que existe un mapa suryectivo $B\to A$ y para $\vert A\vert\leq\vert B\vert$ que existe un mapa inyectivo $A\to B$ )