¿Por qué los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa de un cono uniforme no son iguales?

Question

Así que hoy en mi clase de física hemos deducido el centro de masa de un cono uniforme, y todo tenía sentido, pero casi al final de la clase un estudiante preguntó,

"Si se divide un objeto en dos partes con un plano que pasa por su centro de masa, ¿las masas de los dos objetos serían iguales?"

Y me hizo pensar en nuestro ejemplo del cono en la clase. Así que fui a calcular los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa de un cono para probar el caso más básico y ver si mi intuición se mantenía.

Resultó que los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa no son iguales. Mi lógica era que como el objeto es uniforme, el volumen se correlaciona con la masa, por lo que las masas por encima y por debajo no son iguales. Pero si las masas por encima y por debajo no son iguales ¿cómo puede estar el centro de masa? ¿Puede alguien explicarme por qué es así, o darme los cálculos para demostrar que los volúmenes por encima y por debajo del centro de masa de un cono son iguales?

Answer 1

Tienes una conjetura:

Si se corta un objeto en dos trozos utilizando un plano que pasa por su centro de masa, se obtienen dos trozos con igual masa.

Usted ha encontrado un contraejemplo de esto, por lo que debe ser falso en general.

La razón por la que esto no funciona en tu caso es porque si cada pieza tuviera la misma masa, entonces el COM de cada pieza individual tendría que ser equidistante del COM del cono original. Este no es el caso si utilizamos un plano paralelo a la base del cono.

Esto muestra la idea más general del centro de masa: depende tanto de la cantidad como de la ubicación (o distribución) de las masas. Para un ejemplo aún más simplificado, imagina dos masas puntuales con masa $m$ y $2m$ separados por una cierta distancia $d$ . Es fácil demostrar que el centro de masa se encuentra a una distancia $\frac23d$ de la partícula de masa $m$ . Por lo tanto, si "cortáramos" nuestro sistema en dos partes en el centro de masa, nos encontraríamos con que seguimos teniendo partículas de masa desigual.

Su problema es análogo a mi ejemplo más sencillo. Puedes pensar en cada nueva sección después del corte como su propia masa puntual situada en su propio centro de masa. Cada pieza tendrá una masa diferente, y cada centro de masa tendrá una distancia diferente al centro de masa original.

Por supuesto, esto no significa que nunca haya una forma de cortar el objeto a través de la COM y obtener dos piezas con igual masa. Lo único que demuestra nuestro razonamiento es que es posible que no sea así. El trabajo que usted dice haber realizado demuestra que esta posibilidad se da en la realidad.

Answer 2

Porque la masa que está más lejos del centro tiene más inercia de rotación que la masa más cercana. Si das una patada a una lata en su CM se mueve sin volcarse de extremo a extremo, si la lata tuviera más masa en la parte inferior su CM es menor. Así que lo importante no es sólo la cantidad sino la distancia.