Realización de curvas algebraicas como intersecciones completas

Question

Tengo dos preguntas relacionadas sobre curvas algebraicas completas suaves (sobre $\mathbb{C}$ ).

1. ¿Existe una curva algebraica completa y suave $X$ que no se puede incrustar como una intersección completa en $\mathbb{P}^n$ para cualquier $n$ (nb: esto es diferente a preguntar si toda curva suave en $\mathbb{P}^n$ es una intersección completa, lo que por supuesto es falso; por ejemplo, la cúbica retorcida)? Espero que la respuesta sea "sí", aunque podría ser "no" para géneros específicos (y me interesaría conocer estos géneros). Si se acota $n$ entonces probablemente se podría utilizar el hecho de que el espacio de moduli de las curvas es de tipo general para géneros grandes para demostrarlo.

2. Fijar un género $g$ . ¿Existe algún $n$ tal que $\mathbb{P}^n$ contiene un género suave $g$ curva como una intersección completa? No estoy muy seguro de si la respuesta debe ser sí o no; si es no, entonces me interesaría saber qué $g$ satisfacer esto.

Answer 1

1) El género de una intersección completa de grado múltiple $(d_1,\ldots ,d_{n-1})$ en $\mathbb{P}^n$ es $g=1+\frac{1}{2} d_1\cdot \ldots \cdot d_{n-1}(\sum d_i-n-1)$ (sólo hay que calcular el grado del haz canónico). Esto da valores muy particulares para $g$ : $0, 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16,\dotsc $ . Cualquier curva cuyo género no esté en esta lista no puede realizarse como intersección completa.

2) Aunque $g$ está en esa lista, pues $g>5$ una curva general de género $g$ no puede realizarse como una intersección completa, ya que el número de módulos de dicha intersección completa es menor que $3g-3$ (el número de módulos de una curva general de género $g$ ).