Eliminar el tiempo de las preguntas paramétricas

Question

¿Existe una técnica general para eliminar un parámetro de dos ecuaciones paramétricas? Por ejemplo, dadas las siguientes dos ecuaciones paramétricas que dictan el movimiento de un punto, ¿cómo puedo eliminar el parámetro $t$ (de pie para el tiempo)?

\begin{align} x_1(t)&=\sin(2\pi t)+2\cos(2\pi t)\\ x_2(t)&=\cos(2\pi t)+2\sin(2\pi t) \end{align}

Intuitivamente, creo que estas son las ecuaciones paramétricas de una elipsis rotada. Usando Matlab obtengo la siguiente figura

Answer 1

Creo que no hay un método general. Hay que juzgar cada caso por separado. Aquí parece que las identidades como $\sin^2(a) + \cos^2(a)= 1$ van a ser útiles para eliminar $t$ términos.

Answer 2

$$\begin{cases} x_1=\sin (2 \pi t)+2 \cos (2 \pi t)\\ x_2=2 \sin (2 \pi t)+\cos (2 \pi t)\\ \end{cases} $$ set $$\sin (2 \pi t)=s;\;\cos(2 \pi t)=c$$ sabemos que $$\cos^2(2 \pi t)+\sin^2(2 \pi t)=1\to c^2+s^2=1$$

el sistema se convierte en $$\begin{cases} x_1=s+2 c\\ x_2=2s+c\\ \end{cases} $$ de donde $$\begin{cases} c=\frac{1}{3} (2 x_1-x_2)\\ s= \frac{1}{3} (2 x_2-x_1)\\ \end{cases} $$ ahora recuerda que $$c^2+s^2=1$$ $$\left[\frac{1}{3} (2 x_1-x_2)\right]^2+\left[ \frac{1}{3} (2 x_2-x_1)\right]^2$$ Tras una simplificación, obtenemos $$5 x_1^2-8 x_1x_2+5 x_2^2=9$$