Normas matriciales e integrales; ¿por qué es cierta la desigualdad de la norma y la integral?

Question

En el libro de texto de control adaptativo que estoy usando, utilizamos lo siguiente: $$\left\|\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)\Phi\left(\mathbf{x}\right)\right\| \geq \left\|\Phi\left(\mathbf{x}\right)\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)\right\|$$

donde $\Phi\left(\mathbf{x}\right) \in \mathbb{R}^m$ y son funciones "implícitas" del tiempo. Entonces, afirma que lo siguiente es cierto: $$\alpha_0 I \leq \int_{t}^{t+T}\Phi\left(\mathbf{x}\right)\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)d\tau \leq \left(\int_{t}^{t+T}\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)\Phi\left(\mathbf{x}\right)d\tau\right)I = \beta_0 I$$ asumiendo que las integrales son finitas. Finalmente, dada la segunda desigualdad, vemos que

$$\alpha_0 \leq \left\|\Phi\left(\mathbf{x}\right)\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)\right\|$$

Donde $\alpha_0$ es el ínfimo de los valores propios o menos que los de $\Phi\left(\mathbf{x}\right)\Phi^T\left(\mathbf{x}\right)$ que se supone que es definida positiva. ¿Puede alguien explicar por qué las tres desigualdades son verdaderas?

Answer 1

Para cualquier vector real $u$ podemos demostrar que $\lVert u^T u \rVert = u^T u = \lVert u u^T \rVert_2$ .

Tenga en cuenta que $uu^Tu=(u^Tu)u$ , lo que significa que $(u^Tu, u)$ es un par propio de $uu^T$ . Dado que es simétrica y una matriz de rango 1 $\lVert u u^T \rVert_2=\rho(uu^T)=u^Tu$ donde $\rho(\cdot)$ es el radio espectral.