Distribución Dirichlet y distribución Beta

Question

He visto preguntas aquí sobre Dirichlet y su integración, pero parecen ser preguntas simples. Estoy atascado con esto:

"Dejemos $Y_1, \ldots , Y_k$ tienen una distribución Dirichlet con parámetros $_1, \ldots, _k, _{k+1}.$

Demuestra que $Y_1$ tiene una distribución beta con parámetros $ = _1$ y $ = _2 + \cdots + _{k+1}$ ."

Mirando el sitio web entiendo el caso para cuando $k$ es pequeño como $3,$ pero ¿qué hago con $k+1$ ? ¿Tengo que integrarme constantemente hasta llegar a $Y_1$ ? O hay algo que se me escapa

EDIT: Así que he empezado con esto como mi pdf para $Y_1,\ldots,Y_k$ -

$$g(y_1, \ldots , y_k) = \frac{(_1 + \cdots + _{k+1})}{(_1) \cdots \Gamma(_{k+1})} y^{_11}_1\cdots y^{_k1}_k (1y_1\cdotsy_k)^{_{k+1}1}$$

Así que quiero encontrar $g_{Y_1}(y_1)$ y para ello necesitaría

$$g_{Y_1}(y_1)= \int_{-\infty}^\infty g(y_1, \ldots , y_k) \, dy_2\,dy_3\cdots dy_k \text{?}$$

Para el $k=3$ caso, sé que sustituye $y=(1-x)v$ y luego integrar, llegar a un paso donde se tiene la distribución de $\operatorname{Beta}(_2,_3).$

¿Tengo que integrar y sustituir una $y_i$ a la vez para $2\leqslant i \leqslant k$ ? O es una gran sustitución.

Answer 1

\begin{align} & \int\limits_{\left\{ \begin{array} c (y_2,\,\ldots,\,y_n) \,: \\ y_2+\,\cdots\,+ y_n = 1 \end{array} \dy_k} \cdots\cdots \cdots,dy_1 \cdots dy_k \cdots[12pt] = {} & \int_0^1\\a la izquierda( \int_0^{1-y_k} \left( \int_0^{1-y_k - y_{k-1}} \left( \int_0^{1-y_k-y_{k-1}-y_{k-2}} \cdots\cdots \cdots, dy_{k-3} \right) \, dy_{k-2} \right) \, dy_{k-1} \cdots \end{align}

Pruebe esto para $k=2,$ entonces para $k=3,$ entonces para $k=4,$ y verás el patrón.