Soy estudiante de Cálculo 2. Pero no te preocupes, esto no es un problema de "hacer mi HW". Tengo una pregunta sobre integrales impropias.
Acabo de darme cuenta de algo que me tiene bastante curioso sobre los comportamientos de los límites infinitos y esperaba que alguien pudiera explicar lo que estoy observando.
Si nos dan la integral:
$$ \int_a^\infty [f(x)] dx $$
Debemos tomar el límite de algún número $M$ y resolver la integral de esa manera.
$$ \lim_{M\rightarrow\infty}\int_a^M [f(x)] dx $$ Sin embargo, recordando cuál es la definición de una integral...
$$ \lim_{M\rightarrow\infty}[\lim_{N\rightarrow\infty} \sum_{k=1}^N[f(c_k) \Delta x] ] $$
Lo que me intriga es que tenemos dos límites que se acercan al infinito al mismo tiempo. Un límite que corta la suma infinitamente pequeña, otro que expande el alcance de la suma infinitamente larga.
Si algo se hace infinitamente pequeño e infinitamente grande al mismo tiempo, ¿por qué no permanece del mismo tamaño? ¿Implica esto que $M$ se acerca al infinito más rápido que $N$ ? ¿O significa esto que las rebanadas de $N$ (más bien $\Delta x$ ) están "creciendo" con $M$ a medida que se acerca al infinito?
Gracias.
