La motivación
He aprendido de Emil Artin el libro de Álgebra Geométrica que el nivel de incidencia de los axiomas de la geometría afín (dos puntos determinan una línea única, postulado paralelo, no hay tres puntos colineales existen), junto con (especializaciones) de Desargues teorema son suficientes para traducir las teorías de geometrías afín a las teorías de los módulos a través de la división de los anillos.
Artin lleva a cabo de forma explícita, el atractivo de la construcción de la definición de una adecuada noción de traducción (un mapa, $\tau$ sin puntos fijos tal que la línea $PQ$ determinado b $P$ $Q$ es paralela a la línea de$\tau(P)\tau(Q)$ determinado por $\tau(P)$$\tau(Q)$), mostrando que las traducciones formar un grupo abelian, y, a continuación, mostrando que la endomorphisms de este grupo que se fijan las orientaciones de las traducciones (es decir, que fijan el lápiz de líneas paralelas determinado por cualquier/cada una de las líneas de $P\tau(P)$) en realidad forma un anillo de división. Intuitivamente, los elementos de esta división de los anillos son los escalares por la cual las traducciones son a escala. A continuación, el grupo abelian de traducciones resulta ser una de 2 dimensiones del módulo, y dado que la parte de Desargues teorema afirma que no existen traducciones entre dos puntos, esto con éxito coordinatizes la geometría afín.
Si he entendido correctamente, la adición de una referencia a la geometría, lo que se traduce en un orden sobre el subyacente de la división de anillo (de ahí lo que es un subcampo de la $\mathbb R$); la distancia se traduce en una norma en el módulo; ángulos se traducen en un producto interior, por lo que la anterior con éxito modelos de la geometría Euclidiana (teniendo en cuenta la elección de los tres no-alineados los puntos: $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$) como $\mathbb R^2$.
La pregunta
Mi comprensión de por qué lo Artin ¿realmente funciona es que las propiedades de las traducciones dependen crucialmente de la "planitud" de espacio afín, la cual es codificada por el postulado paralelo (el postulado paralelo parece permitir un tipo de transporte de datos de incidencia alrededor de un punto a otro, parece, y del teorema de Desargues como el usado por Artin garantiza que todos los transportes son coherentes con los de la otra).
Claramente, esto no es cierto con geometría hiperbólica como se niega el postulado paralelo. Sin embargo, he leído en numerosas páginas de wikipedia que esta negación es la única diferencia entre el estándar de los axiomas de (plano) de la geometría Euclidiana y (plano) de la geometría Hiperbólica. Lo que tengo curiosidad por saber es si es posible determinar a partir de primitivas sintético conceptos (puntos, líneas, intermediación, congruencia) el hecho de que la geometría hiperbólica es una 2-dimensional de Riemann de la superficie del colector con curvatura negativa constante mediante una construcción similar a la que yo he leído en Artin del libro. Obviamente, este tipo de construcción será más sofisticado, ya que, esencialmente, seleccione un gráfico de coordenadas alrededor de cada punto, junto con mapas de transición (Artin la construcción parece construir una tabla para el conjunto de espacio afín).
Las referencias, explicaciones, o correcciones sería muy apreciada. Tal vez debería mencionar que mi nebuloso endgoal es entender hiperbólico distancia, pero creo que este enfoque, si es factible, debería arrojar mucha intuición acerca de (plano) de la geometría hiperbólica.
