¿Es el espacio dual lineal un término engañoso?

Question

Un espacio dual lineal consiste en todos los funcionales lineales que envían una función en el espacio $X$ a su campo subyacente

Pero el propio espacio lineal no envía elementos del campo al espacio $X$ envía elementos del espacio $X$ al espacio $Y$ en cambio

Siempre había pensado que lo dual implicaba "simetría", pero en cambio es otro espacio totalmente distinto

Cómo se llamaría un espacio "simétrico" en el que los elementos de un campo se envían al espacio $X$ ? es decir, si denotamos el espacio lineal como $L(X,Y)$ ¿Qué sería? $L(Y,X)$ ¿se llama?

Answer 1

$X$ es en realidad isomorfo al espacio vectorial de los mapas lineales del campo a $X$ . La biyección viene dada por el envío de un vector $v$ al mapa lineal que envía $1$ a $v$ .