Encontrar la suma de $5$ ángulos dada la división equivalente de un lado

Question

Dejemos que $ABC$ sea un triángulo isósceles con $AB = AC.$ Punto $D$ se encuentra en el segmento $AB$ para que $AD = AB/6.$ Puntos $E_1, E_2, E_3, E_4,$ et $E_5$ mentira en el segmento $BC$ , en este orden de $B$ a $C$ y lo dividen en seis partes iguales. Encuentra $$\angle AE_1D + \angle AE_2D + \angle AE_3D + \angle AE_4D + \angle AE_5D$$ en términos de $\angle A$ .

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He experimentado con este problema utilizando un diagrama de Geogebra y he llegado a la conclusión de que la respuesta era $\angle A / 2$ Pero no estoy seguro de cómo empezar con este problema, ya que no puedo encontrar ningún ángulo común útil.

Answer 1

Nótese que, por simetría, $$\angle AE_1C+\angle AE_5C=\pi$$ $$\angle AE_2C+\angle AE_4C=\pi$$ $$\angle AE_3C=\frac{\pi}{2}$$

Por lo tanto, $$\sum \angle AE_iC=\frac{5\pi}{2}.$$

Ahora, fíjate en que el triángulo $DBE_5$ es similar al triángulo $ABC$ . Por el mismo argumento anterior tenemos:

$$\sum \angle DE_iC=\angle DE_5C+2\pi=3\pi-\angle C.$$

Así, $$\sum \angle AE_iD=\sum \angle DE_iC-\sum \angle AE_iC=\frac{\pi}{2}-\angle C=\frac{1}{2}\angle A.$$

Answer 2

Por comodidad, dejemos que $\alpha = \angle A$ , $\beta = \angle B = \angle C = \frac{\pi - \beta}{2}$ , $x = AD$ y $y = \frac{BC}{6}$ . Queremos encontrar $\epsilon_k = \angle AE_kD$ para $k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Establezca un sistema de coordenadas con $B = (0, 0)$ et $C = (6y, 0)$ y se deduce que $A = (7x \cos \beta, 7x \sin \beta)$ , $D = (6x \cos \beta, 6x \sin \beta)$ y $E_k = (ky, 0)$ . Entonces:

• $DE_k = \sqrt{(6x \cos \beta - ky)^2 + (6x \sin \beta)^2} = \sqrt{36x^2 - 12kxy \cos \beta + k^2y^2}$

• $AE_k = \sqrt{(7x \cos \beta - ky)^2 + (7x \sin \beta)^2} = \sqrt{49x^2 - 14kxy \cos \beta + k^2y^2}$

Conociendo las longitudes de los tres lados de $\triangle AE_kD$ (el otro lado es sólo $x$ ), se puede utilizar la ley de los cosenos para resolver $\cos \epsilon_k$ . Sin embargo, cuando intenté hacer esto, tengo un montón de álgebra tediosa, así que tal vez hay un truco "obvio" para hacer las cosas más simples.