Sobre una desigualdad utilizando $\ln \ln n$ relacionada con la desigualdad de Robin.

Question

Es $\ln\ln n < \sigma(n)/n$ , donde $\sigma(n)$ es la suma de los divisores de $n$ ? ¿O es muy poco preciso o demasiado vago?

Answer 1

Si $n$ es primo, el lado derecho es $(n+1)/n$ (que en particular es menor que $3/2$ ), pero el lado izquierdo puede ser tan grande como queramos.

Answer 2

La desigualdad debería mantenerse para un número infinito de $n$ debido al teorema de Gronwall. Éste establece que $$\limsup_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \ln \ln n} = e^\gamma$$

Esto significa que hay infinitas $n$ tal que $\frac{\sigma(n)}{n \ln \ln n}$ está cerca de $e^\gamma$ .

Sin embargo, para la mayoría de $n$ no es cierto que $\frac{\sigma(n)}{n}>\ln \ln n$ . Por ejemplo, no hay potencias primarias mayores que 1618 que puedan estadificar eso.

He calculado que hay exactamente:

• 12.116 números por debajo de los 100.000 que estadísticamente son $\frac{\sigma(n)}{n}>\ln \ln n$
• 2.017 números por debajo de los 10.000 que estadísticamente son $\frac{\sigma(n)}{n}>\ln \ln n$ .
• 372 números por debajo de 1.000 que estadísticamente son $\frac{\sigma(n)}{n}>\ln \ln n$ .