Teoría elemental de conjuntos: Verificación de la unicidad del isomorfismo entre conjuntos ordenados

Question

Dejemos que $W$ sea un conjunto y $E$ sea una relación binaria sobre $W$ que satisface las siguientes propiedades:

(a) Para todos los $x, y \in W$ si para cada $z \in W$ , $z \in x$ si y sólo si $z \in y$ entonces $x = y$ .

(b) $E$ está bien fundado

Intento demostrar que existe un único conjunto transitivo $M$ y función única $$ with domain $ W $ such that $$ es un isomorfismo de $(W, E)$ a $(M, \in)$ .

Me han dado la respuesta utilizando $(x) = \{(y)\, |\, yEx\}$ .

No sé por qué funciona esto. He conectado $x_{0}$ el elemento mínimo de $W$ y luego $x_{1}$ el elemento mínimo de $W\setminus x_{0}$ ...etc... Y tengo algo que se parece al sup, pero en cambio tengo $\pi(x_{i+1})$ = $\sup \pi(x_{i})$ $\cup$ $\pi(x_{i+1})$ . Así que puedo decir que hay una biyección entre $W$ et $M$ lo que preserva el orden según sea necesario.

¿Es esto correcto hasta ahora? De cualquier manera, no sé cómo mostrar la singularidad.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Respuesta sobre la singularidad.

Supongamos que $M$ et $N$ son ambos conjuntos transitivos y que las estructuras $\langle M,\in_{M}\rangle$ et $\langle N,\in_{N}\rangle$ son isomorfas. Sea $f$ denota este isomorfismo. Entonces tenemos:

$\forall m\forall m'\left[m'\in_{M}m\iff f\left(m'\right)\in_{N}f\left(m\right)\right]$ .

El hecho de que $M$ et $N$ son ambos transitivos nos permite modificar esta afirmación:

$\forall m\in M\forall m'\left[m'\in m\iff f\left(m'\right)\in f\left(m\right)\right]$

Cada $x\in f\left(m\right)\in N$ también es un elemento de $N$ (porque $N$ es transitiva) y la subjetividad de $f$ garantiza que $x=f\left(m'\right)$ para algunos $m'\in N$ .

Todo ello permite concluir que:

$\forall m\in M\left[f\left(m\right)=\left\{ f\left(m'\right)\mid m'\in m\right\} \right]$ .

Basándonos en esto podemos demostrar con $\in$ -inducción que:

$\forall m\in M\left[f\left(m\right)=m\right]$ .