Similitud de las sumas directas infinitas frente a los productos directos infinitos entre categorías

Question

Dejemos que $|R|=|S|=\infty$ . En muchas categorías concretas, sé $R^S$ puede identificarse como el conjunto de todas las funciones de S a R, y el mucho más "pequeño" $R^{\oplus S}$ puede identificarse como el subconjunto de $R^S$ que sólo contiene elementos con un número finito de coordenadas no nulas. Estoy buscando una razón profunda de por qué esto es así en todas estas categorías.

En topología, la distinción es obvia, y la topología del producto se define como la más gruesa de las dos. Sin embargo, esta no es una razón profunda o fundamental de por qué $R^{\oplus S}$ tiene la caracterización anterior en álgebra, teoría de categorías o teoría de conjuntos. Por ejemplo, utilizando sólo las propiedades universales del producto y del coproducto, no me resulta en absoluto evidente por qué $R^{\oplus S}$ se caracteriza por la forma en que está arriba.

Si simplemente se define así, ¿por qué? Si se puede derivar, ¿podría ver esa derivación?

Answer 1

Es porque el operaciones en las estructuras se definen como finitario .

Por ejemplo, para los grupos abelianos, como has dicho, $R^{\oplus S}$ debe satisfacer la propiedad universal del coproducto, por lo que éste debe consistir en el $|S|$ copias de $R$ y todo lo demás que se necesita para generar la estructura dada, que son los sumas formales de estos elementos en este caso.

Pero la propia definición de grupo abeliano (módulo, anillo, etc.) sólo requiere un adición finitaria operación, por lo que estas sumas formales, requeridas por la estructura, bastan para mantenerse finitas.

Tenga en cuenta que, en $\mathcal Top$ el $S$ -combinación doble de $R$ es más bien la unión disjunta de $|S|$ piezas de $R$ .