Aclaración sobre la notación de conjunto para el conjunto de puntos en los que converge una determinada secuencia.

Question

Demostrar que, dada una secuencia de funciones medibles $\{f_{n}\}$ el conjunto de puntos en los que $\{f_{n}\}$ convergen es medible.

Mi solución es definir primero $f(x) = \limsup_{n \to \infty} f_{n}(x)$ que es medible. Entonces también conocemos todas las diferencias $|f_{n}(x) - f(x)|$ también son medibles.

Ahora, quiero representar el conjunto de puntos donde convergen estas funciones, pero no estoy del todo seguro. Lo he reducido a dos posibilidades, pero no estoy seguro de cuál es la correcta:

$$\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : |f_{n}(x) - f(x)| < \frac{1}{k}\}$$

o

$$\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=1}^{\infty} \{x : |f_{n}(x) - f(x)| < \frac{1}{k}\}$$

Answer 1

Buscamos encontrar el $x$ tal que $f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy, es decir:

$$\{x \mid \forall \epsilon >0 :\exists n: \forall m \ge n: |f_n(x)-f_m(x)| < \epsilon\}$$

Traduciendo los cuantificadores a uniones e intersecciones uno por uno, obtenemos:

\begin{align*} & \{x \mid \forall \epsilon >0 :\exists n: \forall m \ge n: |f_n(x)-f_m(x)| < \epsilon\}\\ =& \bigcap_{k \ge 1} \left\{x \mid \exists n: \forall m \ge n: |f_n(x) - f_m(x)| < \frac 1k\right\} \\ =& \bigcap_{k\ge 1} \bigcup_{n \ge 1} \left\{x \mid \forall m \ge n: |f_n(x) - f_m(x)| < \frac1k\right\} \\ =& \bigcap_{k \ge 1} \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{m \ge n} \left\{x \mid |f_n(x) - f_m(x)| < \frac1k\right\} \end{align*}

En la formulación con el $\limsup$ esto corresponde a su segunda opción una vez que deja que la intersección más interna comience en $n = m$ .

Para ver que la primera opción es incorrecta, considere cualquier secuencia que satisfaga $f_1 = f$ .