¿Este límite es igual a 1?

Question

Deje que $x \in R^{n}$ se fijará ( $x \neq 0$ ) y $r>0$ . Evaluar el límite: $$ \lim_ {r \rightarrow \infty } \frac {V(B(x,r) \cap B(0,r))}{V(B(0,r))}$$

donde $V$ significa volumen y $B(x,r)$ es la bola con centro x y radio $r$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

El volumen de $B(x,r)$ es $ar^n$ por alguna constante $a$ que depende de $n$ pero cuyo valor exacto no nos concierne.

Deje que $d=||x||$ ser la distancia entre los dos centros $0$ y $x$ . Si $r>d$ entonces la desigualdad triangular implica que $$B_{r-d}(0) \subset B(x,r) \cap B(0,r)$$ Por lo tanto $${V(B(x,r) \cap B(0,r)) \over V(B(0,r))}>{V(B_{r-d}(0)) \over V(B(0,r))}={a(r-d)^n \over ar^n}= \Bigl (1-{d \over r} \Bigr )^n$$ Cuando $r \to\infty $ entonces la última expresión $ \to 1$ .

Answer 2

Sí, si trabajamos con la norma euclidiana. Dejemos que $I(r):=V(B(x,r) \cap B(0,r))$ . Luego $$ \left | \frac {I(r)}{|B(0,r)|}-1 \right |= \frac 1{|B(0,r)|} \int_ { \Bbb R^n} \chi_ {\{||x-y|>r\}} \chi_ {\{y \leq |r\}}dy.$$ En el conjunto en el que nos integramos, tenemos $|x|²-2 \langle x,y \rangle +|y|^2 \geq r^2 \geq |y|^2$ por lo tanto $2 \langle x,y \rangle\leq |x|^2$ . Este es un conjunto delimitado, por lo tanto la integral está uniformemente limitada por una constante universal (independiente de $r$ ). Por cierto, da una velocidad de convergencia.

Answer 3

Todas las bolas euclidianas tienen el mismo volumen, así que también podemos usar $V(B( \frac {x}{2},r))$ en el denominador. Ahora haz un dibujo para ver eso:

$$V \bigg (B \bigg ( \frac {x}{2},r- \frac {|x|}{2} \bigg ) \bigg ) \leq V(B(x,r) \cap B(0,r)) \leq V \bigg (B \bigg ( \frac {x}{2}, \sqrt {r^2 - \frac {|x|^2}{4}} \bigg ) \bigg ).$$

(el enzotib señala más abajo que es más fácil usar un segundo radio de $r + |x|/2 > \sqrt {r^2 - |x|^2/4}$ .)

Ya que el volumen de una bola de radio $r$ es $Cr^n$ , $|x|$ es fijo, y los radios de la primera y la última bola están en orden $1$ en $r$ sus volúmenes van como $Cr^n$ . Así que cuando nos dividimos por $Cr^n$ tenemos que tanto la primera como la última expresión van a $1$ forzando a la mitad a ir a $1$ como se desea.

Answer 4

Sí. Usar el zoom $x \mapsto \displaystyle\frac1r\cdot x$ . Entonces el volumen se reduce por $ \displaystyle\frac1 {r^n}$ tanto en el enumenador como en el dominador, así que el cociente es fijo, $0$ se queda, $r$ es constantemente 1, y $x$ va a $x/r \to 0$ .