Secuencias completas en $C[0,1]$ y $L^2[0,1]$

Question

Es el problema 1.5.4 del libro de Robert M. Young, An introduction to nonharmonic Fourier series:

Demuestre que si $\{f_1,f_2,\dots\}$ es una secuencia en $C[0,1]$ que está completo en $L^2[0,1]$ entonces $\{1, f_1, f_2,\dots\}$ está completo en $C[0,1]$ .

La completitud significa aquí que el conjunto de combinaciones lineales finitas es denso.

Answer 1

Esto es falso: ¿el problema del libro es exactamente el mismo que su pregunta?

Diga $e_k(t)=e^{ikt}$ y que $(f_n)$ sea la secuencia $(1,e_1,e_{-1},e_2,e_{-2}\dots)$ . Entonces $(f_n)$ es ciertamente completa en $L^2([0,1])$ . Pero si $f$ es una combinación lineal de $(1,f_1,f_2,\dots)$ entonces $f(1)=f(0)$ y las funciones con esta propiedad no son densas en $C([0,1])$ .

Independientemente de cómo se plantee exactamente el problema en el libro, conjeturo que lo que el autor tenía realmente en mente era $L^2(\mathbb T)$ y $C(\mathbb T)$ . También es falso en ese contexto, pero el ejemplo no es tan evidente:

Un libro sobre series de Fourier no armónicas probablemente contenga una prueba de esto:

Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia ortonormal completa en un espacio de Hilbert $H$ y $\sum||f_n-g_n||^2<1$ . Entonces $(g_n)$ también está completo en $H$ .

(Esquema de la prueba: Definir $T:H\to H$ por $T\sum a_nf_n=\sum a_ng_n$ . Entonces $||T-I||<1$ Por lo tanto $T$ es invertible).

Ahora dejemos que $a$ y $b$ sean dos puntos distintos de $\mathbb T$ . Sea $f_n$ sea como el anterior; elija $g_n\in C(\mathbb T)$ para que $g_n(a)=g_n(b)$ y $\sum||f_n-g_n||_2^2<1$ . Entonces $(g_n)$ está completo en $L^2(\mathbb T)$ pero $(1,g_1,\dots)$ no está completo en $C(\mathbb T)$ .