Cuál es el resto cuando se divide por (x-1)(x-2)

Question

Si un polinomio se divide por $(x-1)$ entonces el resto es 5 y si se divide por $(x-2)$ el resto es 7. ¿Cuál será el resto si se divide el polinomio por $(x-1)(x-2)$ ?

Como el grado es desconocido, no podemos escribir el polinomio con coeficientes arbitrarios. Así que tenemos que asumir el polinomio como $f(x)$ . Ahora podemos escribir ... $$f(x)=(x-1)g(x)+5$$ $$f(x)=(x-2)h(x)+7$$ Donde $g(x)$ & $h(x)$ son algún polinomio de x. Entonces resteo estas dos ecuaciones, pero no puedo ir más allá. ¿Voy bien? ¿Debo utilizar la diferenciación?

(Si está utilizando algún teorema, por favor proporcione un enlace para que pueda aprenderlo)

Answer 1

Por el teorema del resto, "Cuando f(x) se divide por (x-1), el resto es 5" se puede traducir por

(1) $f(1) = 5$

Del mismo modo, tenemos:-

(2) $f(2) = 7$

Cuando $f(x)$ se divide por $(x-1)(x-2)$ entonces, básicamente, tenemos:

(3) $f(x) = (x-1)(x-2) \times $ Cociente + Resto

Como el grado del resto debe ser uno menos que el del divisor, [ $= 2$ de $(x-1)(x-2)$ ], el resto sólo puede tener grado = 1 (o inferior). El resto debe tener entonces la forma $ax + b$ que es una expresión general de grado 1 (o menor si a = 0) en x. Por tanto, (3) se convierte en

(4) $f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + (ax + b)$

(1) y (2) pueden utilizarse para encontrar los valores de $a$ y $b$ de (4).

Answer 2

SUGERENCIA:

$f(x)$ puede escribirse como $$(x-1)(x-2)g(x)+Ax+B=(x-1)(x-2)g(x)+C(x-1)+D(x-2)$$ donde $g(x)$ es un polinomio finito.

Answer 3

$f(2)=7\,\Rightarrow\,f = 7+(x\!-\!2)g.\ $ $ 5 = f(1) = 7-g(1)\,\Rightarrow\, g(1) = 2\,\Rightarrow\, g = 2+(x\!-\!1)h$

Por lo tanto, $\ f\, =\, 7+(x\!-\!2)\underbrace{(2+(x\!-\!1)h}_{\large g})\, =\, 2x+3 + (x\!-\!2)(x\!-\!1)h$

Answer 4

Pista... Escribir $$f(x) =(x-1)(x-2)q(x)+ax+b$$ ya que el resto de la división por una cuadrática será de grado como máximo uno menos. Utiliza los resultados conocidos para encontrar $a$ y $b$ .

Answer 5

$(ax + b)/(x-1)$ el cociente es a y el resto es $a+b$ $(ax+b)/(x-2)$ el cociente es a y el resto es $7$

por lo que tenemos $a+b = 5$ y $2a+b = 7$ igualando los dos tenemos $a= 2$ y $b = 3$ por lo que el resto es $2x+3$ si dicho polinomio se divide por $(x-1)(x-2)$

Respuesta $2x+3$