El conjunto infinito tiene una cardinalidad mayor o igual que la de N

Question

Para cualquier conjunto infinito, podemos encontrar una función 1-1 (no necesariamente onto) de N (conjunto de números naturales) a ese conjunto. La prueba de este teorema la conozco usando el axioma de elección.

¿Podemos demostrarlo sin usar el axioma de elección (sin usar el axioma de sustitución y GCH)? Si no es así, significa que esta afirmación es consistente con el axioma inicial de ZFC (sin AC). Pero, ¿esta afirmación se demuestra de alguna manera con el axioma de elección?

Nota: Un conjunto finito es un conjunto que puede ponerse en correspondencia 1:1 con un subconjunto de N que tiene un límite superior. Y un conjunto infinito es un conjunto que no es finito.

Answer 1

Usted pregunta lo siguiente:

Hace $\sf ZF$ demuestra que "Todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito"? Si no es así, entonces $\sf ZF$ con "Todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito" demostrar el axioma de elección?

La respuesta a ambas es negativa.

Ambas pruebas no son triviales y requieren un conocimiento sustancial de las pruebas de independencia y de los modelos de $\sf ZF$ . Pero sólo son pequeños trozos de historia:

1. Fraenkel demostró que si es consistente que la respuesta de la primera pregunta es falsa, y el axioma de elección falla, pero sólo si debilitamos la teoría de conjuntos para permitir objetos que no son conjuntos (llamados átomos, o ureles).

   Cohen lo demostró en $\sf ZF$ unos 40 años después en sus documentos originales sobre el forzamiento. Tomó las ideas del trabajo de Fraenkel (después de que éste fuera pulido y corregido por Mostowski y Specker entretanto) y las aplicó junto con su nuevo método de forzamiento.

   Puede encontrar ambas cosas en el libro "The Axiom of Choice" de Jech.

2. En la otra dirección, las notas históricas de Jech de su libro "Axioma de la elección" dicen que Pincus demostró esto en 1969 (ver p.132 en el libro). También sé que Monro también lo demostró en 1975 directamente usando argumentos de forzamiento y constructibilidad relativa.

Todas las pruebas mencionadas aquí no son triviales en absoluto, y sin más conocimientos sobre forzamiento, constructibilidad relativa, modelos de permutación y modelos simétricos, es difícil explicar cómo van estas pruebas. Pero si quieres estudiar estos temas, el libro mencionado por Jech es un buen comienzo, así como su libro "Set Theory", y el libro de Halbeisen "Combinatorial Set Theory".