En un curso de probabilidad se aprende que una variable aleatoria (real) es un mapeo medible de algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{A},\mathbf{P})$ en $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ . Pero en cuanto se entra en temas un poco más avanzados, el espacio $(\Omega,\mathcal{A},\mathbf{P})$ no se menciona a menos que sea absolutamente necesario. Después de mucho tiempo de frustración, me he sentido bastante cómodo con este lenguaje. Pero hay cosas que todavía me preocupan. En el libro que estoy leyendo aparece el siguiente tipo de razonamiento:
El autor dice que $(X_i)_{i\in I}$ es una familia de variables aleatorias y especifica la distribución de cada variable aleatoria. A continuación, formula alguna proposición (aleatoria) $A((X_i)_{i_\in I})$ (esto es un poco impreciso, espero que se entienda) y habla de $\mathbf{P}[A((X_i)_{i_\in I}) \text{ holds}]$ .
Mi pregunta: Que $(\Omega',\mathcal{A}',\mathbf{P}')$ sea otro espacio de probabilidad y $(Y_i)_{i\in I}$ variables aleatorias tales que, para cada $i\in I$ La distribución de $Y_i$ es la misma que la distribución de $X_i$ . ¿Es entonces obvio que $\mathbf{P}[(A(X_i)_{i_\in I}) \text{ holds}]=\mathbf{P}'[(A(Y_i)_{i_\in I}) \text{ holds}]$ ?
Ahora bien, mi opinión es que esto es cierto, pero necesita una prueba, que no es del todo trivial en caso $I$ es infinito, al menos no para un principiante. Sin embargo, en el libro este problema no se discute en absoluto. Entonces, ¿me he perdido algo?
Editar:
No estoy seguro de que la pregunta se haya entendido correctamente, así que la reformularé un poco.
Dejemos que $(\Omega,\mathcal{A},\mathbf{P})$ y $(\Omega',\mathcal{A}',\mathbf{P}')$ sean dos espacios de probabilidad, $I$ un conjunto, y $(X_i)_{i\in I}$ y $(Y_i)_{i\in I}$ familias de variables aleatorias en $(\Omega,\mathcal{A},\mathbf{P})$ y $(\Omega',\mathcal{A}',\mathbf{P}')$ respectivamente, tal que, para cada $i\in I$ La distribución de $X_i$ es igual a la distribución de $Y_i$ . Sea $J$ sea un subconjunto contable de $I$ y $B_j$ un conjunto de Borel para cada $j\in J$ . La pregunta es:
¿Es obvio que $\mathbf{P}\left[\bigcup_{j\in J}\{X_j\in B_j\}\right]=\mathbf{P}'\left[\bigcup_{j\in J}\{Y_j\in B_j\}\right]$ ?
Los conjuntos $B_j$ y la unión sobre $J$ son sólo un ejemplo. Lo que quiero decir, pero no puedo formalizar: Dejemos que $A\in\mathcal{A}$ y $A'\in\mathcal{A}'$ tal que existe una expresión para $A$ en términos de $X_i$ y $A'$ viene dada por la misma expresión sustituyendo $X_i$ por $Y_i$ para cada $i$ . ¿Es obvio que $\mathbf{P}[A]=\mathbf{P}'[A']$ ?
