Sabiendo que existe una solución factible y que tiene una solución óptima finita

Question

Tengo el siguiente problema de programación lineal:

limitaciones:

$x_1,x_2,x_3\geq200$

$0.45x_1+0.41x_2+0.5x_3 \leq 960$

$x_1+x_2+x_3 \leq 2000$

$ x_2+x_3 \leq x_1$

funciones objetivo:

max $0.35 x_{1}+0.41 x_{2} + 0.37 x_3$

min $0.45x1+0.41x_2+0.5x_3$

¿Cómo puedo saber, sin resolver el problema numéricamente, que existe una solución factible para ambas funciones objetivo y una solución óptima finita?

¡Cualquier consejo sobre el teorema o la intuición sería de gran ayuda!

Answer 1

Como se señala en los comentarios: Podemos construir fácilmente una solución factible, por ejemplo $x_1=400, x_2=x_3=200$ es factible. Significa que el conjunto factible no es vacío. El conjunto factible está acotado ya que $200 <= x_i <= 2000 $ se mantiene para todas las variables. Es decir, queremos maximizar una función lineal sobre un conjunto acotado no vacío. De esto se deduce que el problema tiene una solución óptima finita.