demostrar una identidad que implica la función beta y la función gamma

Question

Sabemos que $B(p,q)=\Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$ donde $p, q>0$ , y $B(p,q)$ está relacionado con los coeficientes binomiales si uno de $p,q$ es un número entero. Quiero demostrar la siguiente identidad.

$$\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(b+2n+3)}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}\Gamma(b+n+k+2)}{(n-k+1)!(k+1)!\Gamma(b+k+1)}=\frac{1}{(n+1)!(n+2)!}\left[(-1)^{n+1}B(b,n+2)-B(b+n+1,n+2)\right],$$

donde todas las variables, excepto $b$ son enteros no negativos, y $b=p/2+q$ para enteros no negativos $p,q.$ De hecho, el valor de $b$ no es esencial aquí, siempre y cuando $b\geq 0$ .

He intentado convertir la expresión anterior en una identidad sobre los coeficientes binomiales, pero todavía no he podido resolverlo.

Obsérvese que para el caso especial en que $n=0$ se puede verificar que la identidad anterior se mantiene.

Answer 1

Supongamos que nos interesa el valor de $$S_b(n) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}}{(n-k+1)!(k+1)!} \frac{\Gamma(b+n+k+2)}{\Gamma(b+k+1)}.$$

Esto es $$\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}}{(n-k+1)!(k+1)!} (n+1)! {b+n+k+1\choose n+1} \\ = \frac{1}{n+2} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1} (n+2)!}{(n-k+1)!(k+1)!} {b+n+k+1\choose n+1} \\ = \frac{1}{n+2} \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} {n+2\choose k+1} {b+n+k+1\choose n+1} \\ = \frac{1}{n+2} \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^k {n+2\choose k} {b+n+k\choose n+1}.$$

Esto se convierte en $$-\frac{1}{n+2} {n+b\choose n+1} - \frac{1}{n+2} (-1)^n {2n+b+2\choose n+1} \\ + \frac{1}{n+2} \sum_{k=0}^{n+2} (-1)^k {n+2\choose k} {b+n+k\choose n+1}.$$

Para evaluar la suma introducimos $${b+n+k\choose n+1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{b+n+k}}{z^{n+2}} \; dz.$$

Esto da como resultado para la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{b+n}}{z^{n+2}} \sum_{k=0}^{n+2} (-1)^k {n+2\choose k} (1+z)^{k} \; dz \\ = \frac{(-1)^{n+2}}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{b+n}}{z^{n+2}} (-1+1+z)^{n+2} \; dz \\ = \frac{(-1)^{n}}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{b+n} \; dz = 0.$$

De ello se desprende que $$S_b(n) = -\frac{1}{n+2} {n+b\choose n+1} - \frac{1}{n+2} (-1)^n {2n+b+2\choose n+1}.$$

Convertir esto en el formato de la función gamma es pura álgebra y se deja como ejercicio para el lector.

Observación. Utilizamos $$(1+z)^{b+n} = \exp((b+n)\log(1+z))$$ cuando $b$ es no es un número entero donde el corte de la rama del logaritmo está en el eje real negativo para que el punto de bifurcación esté en $z=-1.$ Esto asegura que tenemos analiticidad en un disco que encierra el origen.