Demuestre que una matriz que mapea vectores ortonormales a ortonormales es ortogonal

Question

Si $Av_1$ $Av_2$ ... $Av_k$ son vectores ortonormales en $R^n$ y $v_1$ $v_2$ ... $v_k$ también son vectores ortonormales en $R^n$ . Demuestre que la matriz A debe ser ortogonal, es decir $A^TA=I$ . Puedo probarlo al revés pero no puedo de esta manera. Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

Dejemos que $e_1,\dots,e_n$ sea la base estándar para ${\bf R}^n$ . Estos vectores son ortonormales, por lo que, por hipótesis, los vectores $Ae_1,Ae_2,\dots,Ae_n$ también son ortonormales. Pero estos vectores son las columnas de $A$ . Así, las columnas de $A$ son ortonormales. Por lo tanto, $A$ es una matriz ortogonal.