Lema de la norma vectorial y prueba

Question

Tengo una pregunta del libro Numerical linear algebra de Trefethen & Bau :

Dejemos que $\|\cdot\|$ denota cualquier norma sobre $C^m$ . La norma dual correspondiente $\|\cdot\|'$ se define mediante la fórmula $\|x\|' = sup_{\|y\|=1}|y^*x|$ .

Dejemos que $x, y \in C^m $ con $\|x\|=\|y\|=1$ se le dará. Demostrar que existe existe una matriz de rango uno $B=yz^*$ tal que $Bx=y$ y $\|B\| =1$ , donde $\|B\|$ es la norma matricial de B inducida por la norma vectorial
$\|.\| $ . Se puede utilizar el siguiente lema, sin demostración: dado $x\in C^m $ existe un $z \in C^{m}$ tal que $|z^*x|= \|z\|^{'}\|x\|$ .

No sé cómo relacionar el lema dado con la pregunta ( he supuesto que $z(s)$ en el lema dado y la pregunta principal no son lo mismo). (2) cuando se utiliza $\|\cdot\|$ ¿debo asumir $\|\cdot\|_2$ ?

Answer 1

Dejemos que $z$ sea tal que $|z^* x| = \|z\|' \|x\| = \|z\|' = \sup_{v:\|v\|=1} |z^* v|$ según el lema. Reescalando $z$ podemos suponer $|z^* x|=1$

Entonces con $B=yz^*$ tenemos $\|B\| = \sup_{v : \|v\|=1} \|yz^* v\| = \|y\| \sup_{v : \|v\|=1} |z^* v| = \|y\| |z^* x| = 1$ .

Finalmente, $Bx = y(z^*x)$ . No me queda claro cómo podemos demostrar que $z^* x=1$ ; tal vez alguien más pueda terminar este argumento...