El grupo de matrices $n\times n$ con entradas enteras y determinante igual a 1, $SL(n,Z)$, es un grupo finitamente generado (de hecho, está generado por 2 matrices). Me interesa saber si el semigrupo de las matrices en $SL(n,Z)$ donde todas las entradas son no negativas también es finitamente generado. Esto es cierto al menos en la dimensión $n=2$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La pregunta ha sido ampliamente respondida, pero quizás vale la pena explicar la geometría de la situación. El monoide positivo actúa por transformaciones proyectivas en el $n-1$-simplejo (la vista del ortante positivo desde el origen, y el orden parcial en el monoide es el orden por inclusión de la imagen bajo esta acción. En $R^n$, la imagen del simplejo generado por el origen junto con los vectores de la base no puede contener puntos de red interiores. Esto implica que en la acción proyectiva, ninguna imagen adecuada puede contener su baricentro. Esto, con sus ramificaciones, impone una fuerte limitación a las imágenes de todo el simplejo bajo el monoide positivo.
Por otro lado, no es difícil probar que para $n \ge 3$, el conjunto de imágenes de cualquier cara es denso. De hecho, usando teoría elemental y bien conocida, hay una densidad positiva de $(n-1)$-tuplas de puntos de red que se extienden a una base para $Z^n$, y cualquier $n$-tupla de elementos positivos puede extenderse a una base positiva.
Esto implica que no hay un conjunto finito de generadores, porque una sola imagen del $n-1$-simplejo puede contener como máximo simplejos cerca del baricentro sobre un pequeño rango de ángulos. Aquí hay una imagen para el caso bidimensional: alt text http://dl.dropbox.com/u/5390048/MatrixSemigroup.jpg
El segmento de línea es la proyección del par de puntos de red $L_1=(285, 684, 112)$ y $L_2 = (764, 318, 949)$ encontrados, por selección pseudoaleatoria de cubos de red que se proyectan cerca del segmento objetivo, sujeto a la condición de que se extiendan a una base libre.
Un tercer elemento de la base puede transformarse para proyectarse arbitrariamente cerca de cualquier punto deseado en la línea a través de la imagen de $L_1$ y $L_2$ al agregar $N*L1 + M*L2$, para $N$ y $M$ adecuados.
Además, esto caracteriza el cierre (con respecto a la topología de Hausdorff) del conjunto de imágenes del triángulo bajo el monoide positivo: consta de todos los triángulos generados por bases libres positivas, junto con el conjunto de todos los segmentos de línea contenidos en el triángulo.
BS.
Puntos
7136
De hecho, hay infinitos "primos" en este monoide $M$, es decir, elementos $a$ tales que cualquier descomposición $a=bc$ tiene b o c invertible en $M$ (por lo tanto, una matriz de permutación). Cualquier primo de este tipo está necesariamente en cualquier conjunto generador (hasta permutar líneas y columnas).
Ejercicio: si $n=3$, $\begin{pmatrix} 1 & m & m \\\ m & 1+m^2 & 0 \\\ m & 0 & 1+m^2+m^4 \end{pmatrix}$ con $m\geq1$ es una familia infinita de primos (no equivalentes).
Nathan Baulch
Puntos
7994
Ver el Ejercicio 28 en mi sitio web http://www.umpa.ens-lyon.fr/~serre/DPF/exobis.pdf de ejercicios sobre matrices. Y gracias a BS por señalar un error tipográfico (Escribí $1+m+m^2$ en lugar de $1+m^2+m^4$).
