¿Cómo entender la compacidad?

Question

¿Cómo entender la compacidad en el espacio topológico de forma intuitiva?

Answer 1

Observe el mayor número posible de ejemplos de qué conjuntos son compactos y cuáles no, así tendrá una idea de lo que la compacidad trata de encapsular. Luego intenta ver por qué los ejemplos de conjuntos compactos que has visto son compactos y por qué los ejemplos no compactos no lo son. La mente humana aprende mucho comparando y mezclando cosas, así que compara, mezcla y repite.

Answer 2

Pienso en la compacidad como finitud topológica. Una función de valor real definida en un conjunto finito tiene un máximo y un mínimo. Una función continua de valor real definida en un conjunto compacto tiene un máximo y un mínimo. El núcleo de esta intuición es la propiedad de subcubierta finita.

Answer 3

Para mí, la compacidad de un espacio topológico significa que tiene puntos suficientes para dar soluciones exactas a ecuaciones continuas. Más concretamente,

compacidad = Cualquier ecuación que pueda aproximarse mediante un sistema coherente de $\leq$ desigualdades de funciones continuas tiene solución.

Por ejemplo, siendo una solución a la ecuación $x^2 = 2$ equivale a ser una solución simultánea del sistema infinito de desigualdades $\lbrace |x^2-2| \leq \frac 1 n \rbrace_{n\in\mathbb N}$ . Este sistema es coherente en el sentido de que cada finito subsistema tiene soluciones; después de todo, podemos aproximar $\sqrt 2$ por números racionales arbitrariamente bien. Entonces, es el compacidad de intervalos acotados de números reales que nos dice que existe una solución simultánea de todas estas inecuaciones, y por tanto de la propia ecuación.

En cambio, intentar rodear $\sqrt 2$ como número racional falla, puedes encerrarlo con intervalos cada vez más pequeños, pero cuando intentas atraparlo con un número infinito de intervalos, "se te escapa".

Este principio también se conoce como propiedad de intersección finita . Las desigualdades, o "condiciones", definen una colección de conjuntos cerrados y la solución exacta que buscamos está contenida en la intersección de infinitos conjuntos cerrados. Si cada intersección finita de estos conjuntos cerrados no es vacía, es decir, si cada colección finita de condiciones puede cumplirse, cabe esperar que todas las condiciones puedan satisfacerse simultáneamente. Esto es precisamente lo que garantiza la compacidad.

Otros ejemplos:

• El teorema de Peano sobre la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias se basa en la compacidad para construir un buen candidato.
• Una técnica muy utilizada para demostrar la existencia de solución para las ecuaciones diferenciales parciales son las variaciones de cálculo. En este contexto, la compacidad débil de la bola unitaria en un espacio de Hilbert se utiliza a menudo para obtener una solución débil de la EDP que luego se actualiza a una solución fuerte.